Математика диверсификации: портфельный эффект и ребалансировка между акциями

Рассмотрим на простой модели как из набора акций с нулевой ожидаемой доходностью получается портфель с положительной и как на его доходность влияют довложения и ребалансировки

Обновлено:

Рассмотрим сферический фондовый рынок в вакууме, на котором обращается 10000 акций. Т.к. рынок сферический и в вакууме, компании никак не взаимодействуют ни друг с другом, ни со внешней средой, дивидендов поэтому тоже не платят. Вся доходность акции заключается в изменении её цены. Цены изменяются независимо друг от друга на случайный процент вверх или вниз каждый шаг моделирования. Начальной ценой всех акций возьмём 1.

Вот так будет выглядеть распределение цен акций через условные 10 лет моделирования.

График этот читается так: у (Bx-Ax) процентов акций цена лежит между Ay и By. Чтобы показать относительное изменение цены по оси y взята логарифмическая шкала. Тонкими линиями показаны половина акций и начальная цена.

Как ожидалось, вероятности получения прибыли и убытка по каждой акции совершенно одинаковы. С одинаковой вероятностью можно получить как увеличение своего капитала в 10 раз, так и его уменьшение в те же 10 раз. Так выглядит этот график, если по оси y взять доходность отдельных акций в процентах годовых (на всех графиках цены и доходности условны и используются только для сравнения сценариев, хотя я откалибровал параметры модели так, чтобы среднерыночная доходность соответствала ≈5%г).

С течением времени среднегодовая доходность возвращается к средней.

Но абсолютные результаты лучших и худших акций продолжают разбегаться всё сильнее, хотя большинство акций так и болтаются около своей начальной цены (как это и происходит на настоящем рынке).

Теперь посмотрим, что получается если мы начнём собирать из этих акций портфели (случайные, разумеется).

С увеличением количества акций в портфеле, его ожидаемая доходность всё время растёт и снижается неопределённость в её размере. Мы не делали никаких ребалансировок и довложений, мы просто включили в портфель N независимо ведущих себя акций. Почему так получается? Ответ очевиден: убытки ограничены (стоимость акции не может стать отрицательной), а прибыль — нет.

Теперь посмотрим на эффект довложений и ребалансировок (портфель из 50 акций, довложение/ребалансировка ежегодно в размере начальной суммы, расчёт на 30 лет).

Как видно, регулярные довложения (временна́я диверсификация) увеличивают и доходность, и стабильность портфеля (но только в теоретической модели, где все движения цен независимые, а на реальном рынке доходность будет та же, а риск выше ). При этом докупка пропорционально капитализации имеет несколько неоднозначный эффект: она хороша, только если в портфеле оказалось достаточно «акций-счастливчиков». А ребалансировка (т.е. выравнивание долей акций в портфеле) показывает совершенно выдающиеся результаты по повышению доходности и снижению риска портфеля, только в 30% исходов проигрывая портфелям, взвешенным по капитализации.

Однако, эти результаты справедливы только в случае, если успех или неуспех компаний определяется случайными факторами. Если мы будем считать, что некоторые компании лучше других способны зарабатывать прибыль, а некоторые, наоборот, только уничтожают акционерный капитал, то получим следующие результаты.

Оптимальным вариантом становится портфель, взвешенный и пополняемый пропорционально рыночной капитализации, а ребалансировка приводит только к снижению доходности.

Однако доходность акции на рынке определяется не только деятельностью компании, но и рыночной оценкой её будущего. Т.е. даже совсем убыточная компания может быть оценена так низко, что при своём банкротстве даст инвестору среднерыночную прибыль — от распродажи имущества. Учитывая это, полученный результат можно переформулировать так: на абсолютно эффективном рынке, где вся информация о деятельности компании и возможных рисках включена в цену, поэтому ожидаемые доходности всех акций одинаковы и вся разница в фактической доходности определяется случайными факторами (чей эффект вновь тут же включается в цену) — наилучшим будет равновзвешенный портфель акций; на неэффективном рынке, где присутствует систематическая пере- или недооценка отдельных компаний — наилучшим будет портфель, взвешенный по капитализации.

Получилось забавное противоречие с господствующими школами мысли. Ведь сторонники гипотезы эффективного рынка выступают за взвешенные по капитализации портфели, а сторонники поиска неэффективностей — как минимум — за равновзвешенные. Поддержание равной балансовой стоимости акций выглядит неплохим нейтральным вариантом.

Какой из этих вариантов лучше соответствует реальному рынку — я не знаю. На данный момент я руководствуюсь промежуточной моделью: считаю колебания капитализаций отраслей случайными и ребалансируюсь между отраслями, но внутри отраслей ребалансировку не произвожу. Однако сложность этой модели меня утомляет и я хочу её упростить.

Исходники моделей: рынок, довложения и ребалансировка.