Математика кредитов

Теория и расчёт различных схем погашения кредитов. Какова реальная переплата по кредиту по той или иной схеме? Сколько стоит хранить в банке резерв на будущие платежи по кредиту? Сколько можно заработать, если вложить кредитные деньги?

Обновлено:

Если вам не интересна теория — переходите сразу к калькулятору.

Кредит — это способ воспользоваться деньгами банка за некоторую плату. Очевидно, пользоваться кредитами имеет смысл только тогда, когда это принесёт больший доход, чем будет выплачено процентов. Однако рассчитывать кредиты довольно сложно и по интернетам разгуливает изрядное количество дури по этому поводу (у одного — аннуитеты впаривают, другой — взял кредит под 11%г, чтобы положить под 7 и считает, что это выгодно).

Разберёмся сперва с формами погашения. При аннуитетных платежах вы всегда отдаёте банку одну и ту же сумму, часть суммы идёт в погашение процентов, а часть — кредита. Дифференцированный платёж состоит из двух частей: фиксированной суммы в погашение кредита, и платёж по процентам на остаток задолженности. В схематичном виде выглядит это так (здесь на вертикальной оси выплаты по долгу и процентам представлены в процентах от аннуитетного платежа, а остаток по кредиту — от его начальной суммы, по горизонтальной оси — годы):

Очевидно, что при отсутствии ограничений и штрафов на досрочное частичное погашение (а их, как правило, нет), превратить аннуитетный платёж в дифференцированный очень просто: достаточно вносить столько же, сколько предполагается дифференцированной схемой. При этом риски аннуитетной схемы ниже т.к. меньше максимальный размер платежей (из-за этого же банки одобряют с большей охотой одобряют бо́льшие суммы при этой схеме — меньше риск невозврата). Исходя из этих же соображений, при частичном досрочном погашении нужно всегда уменьшать размер последующих платежей, а не срок кредита: внести платёж больше расчётного никто не запретит, но в случае чего кредитная нагрузка ниже.

Однако стоит ли превращать аннуитетную схему в диффенецированную? С одной стороны, при первых аннуитетных платежах остаток долга практически не гасится, и общая сумма начисленных процентов окажется гораздо больше, чем при дифференцированном погашении. Однако мы помним, что деньги со временем обесцениваются, а этот эффект работает уже в пользу аннуитетной схемы, т.к. при ней погашение тела долга происходит уже «дешёвыми» деньгами. Сведём расчёты в excel, чтобы установить, какой из эффектов важнее (табличку можно редактировать):

Отсюда видно, что переплата с учётом инфляции по аннуитетной схеме всё-таки выше, чем по дифференциированной, но уже не настолько, как если сравнивать номинальные величины. Преимущество аннуитетная схема начинает получать только когда инфляция обгоняет ставку по кредиту. В случае длинных ипотечных кредитов это не такой уж невероятный сценарий: ставки по кредитам в России обычно фиксированные, поэтому в периоды низкой инфляции ставку можно снизить посредством рефинансирования, а потом, при разгоне инфляции, она сохранится: и кредит начнёт приносить доход.

С учётом инфляции схемы погашений будут выглядеть уже так:

Теперь разберём другую дурь, что может быть выгодно взять кредит и положить его на депозит с меньшей ставкой. Результат тут не столь самоочевиден, как может показаться. Здесь действительно борются между собой эффекты капитализации — когда на сумму начисленных по депозиту процентов в следующем периоде тоже начисляются проценты, и антикапитализации — когда выплата части основого долга уменьшает в дальнейшем процентные платежи.

Вообще, все такие ситуации лучше всего разбирать «прямым методом» — рассчитывая конечный размер капитала в альтернативных сценариях. Сравнение между собой отдельных параметров сценариев приводит к ошибочным выводам. Да, размер переплаты по кредиту под 11%г меньше начисленных на его сумму процентов на вкладе под 7%г, но это всё равно убыточный сценарий. Казалось бы, это очевидно, если сравнивать не размеры выплат, а проценты. Но взять годовой кредит под 11% и положить его на вклад под 13%г — это всё равно убыточный сценарий! Итак, считаем. Базовый вариант: взяли кредит, положили его на вклад, а платежи делаем из з/п. Альтернативный: кредит не берём, а кладём на вклад те суммы, которые пришлось бы отдавать по нему в базовом варианте. Удобнее считать с аннуитетной схемой погашения, а инфляция нам не важна: мы сравниваем итоговые суммы, которые инфляция обесценит одинаково.

Внизу таблицы приведён график погашения кредита на первый год в сравнении с накоплением платежей на вкладе. В принципе, этого графика достаточно для всех сравнений, можете скачать и побаловаться (например, изменив схему погашения с аннуитетной на дифференцированную — для этого достаточно в колонке «платёж в счёт долга» установить одинаковые платежи). Просто при расчёте для разных сроков кредита мне лениво растягивать/сжимать эту табличку, легче немного повозиться с алгеброй и все результаты вывести в одну ячейку. Но для сложных схем такие таблички незаменимы: алгебра может оказаться слишком сложной. Пользуйтесь табличками!

Итак, что мы видим. Накопить нужную сумму в течение года действительно выгоднее, чем брать кредит. Однако всего лишь на 2,74%г, а совсем не на 4%г, как следовало бы из разницы ставок. А при увеличении срока кредита до пяти лет, эффективная стоимость снизится до 2%г, и продолжит падать дальше, но в отрицательную зону не перейдёт. А теперь попробуйте подобрать такое соотношение ставок и срока кредита, чтобы получить ощутимую доходность, вкладывая под проценты заёмные деньги. Реально ли такое соотношение? Скорее нет, если только вы не подставились под избыточные риски.

Результаты довольно неочевидные. Это потому, что капитализация и антикапитализация — нелинейные эффекты, которые взаимодействуют между собой очень нетривиальным образом. Это приводит к тому, что сильно нажиться на заёмных деньгах едва ли возможно. С другой стороны, мы видим, что резерв под предстоящие выплаты по кредиту намного дешевле, чем кажется, поэтому не нужно торопиться все образовавшиеся излишки отправлять на погашение кредитов, напрашиваясь на кассовый разрыв и штрафные санкции. Наглядно это видно в следующей таблице:

Сравниваем сценарии, где мы поддерживаем резерв по выплатам на полгода вперёд (направляя начисленные проценты на погашение кредита, а когда он уменьшится до размера резерва — погашая его полность.) и где сразу погашаем часть кредита на размер резерва (но не уменьшая при этом ежемесячный платёж: всё-таки, выгоднее гасить кредит раньше). Как видно, реальный размер выплат с учётом инфляции различается незначительно.

Статья будет пополняться новыми разборами.