Временна́я стоимость денег. Дисконтирование

Деньги сейчас стоят дороже, чем деньги в будущем

Почему?

1. Инфляция. Деньги со временем обесцениваются.
2. Неопределённость. Чем дальше отложен момент получения денег, тем больше вероятность их недополучить.
3. Упущенные возможности. Вдруг за то время, пока вы ждёте обещанной суммы, вам подвернулась бы возможность ими очень выгодно распорядиться?
4. Упущенное удовольствие (оно же жадность). Потратить или даже просто иметь деньги сейчас — гораздо приятнее, чем когда-то потом.

Все эти факторы в совокупности можно выразить одним числом — ставкой дисконтирования, показывающей, с какой скоростью падает ценность денег для инвестора.

Ставка дисконтирования — субъективна и переменна

1. Инфляция — скорость роста уровня цен — зависит от места жительства инвестора (и вообще от его структуры потребления, хотя драматичность отличия от «официального» уровня обычно очень сильно преувеличивается).
2. Часть рисков также зависит от самого инвестора (психологические риски, риски юрисдикций резидентства и гражданства...). Отношение к рискам/неопределённости у разных инвесторов тоже разное.
3. Возможности инвесторов по размещению денег различаются.
4. Жадность (т.е. готовность жертвовать будущим ради настоящего) тоже у всех своя.

И все эти факторы со временем меняются.

Как сравнить две суммы, полученные в разное время

Очень просто — привести их к одному времени с помощью ставки дисконтирования: $$\tilde{V}=V\cdot (1+r{)}^{t_t-t},$$ где $V$ — получаемая сумма, $r$ — ставка дисконтирования, $t$ — время получения денег, $t_t$ — время, на которое рассчитываем стоимость $V$. $r$ должна быть согласована с $t$, обычно используют годовое измерение.

Пусть я решил купить квартиру на стадии котлована за 3Мр, с целью выручить от её продажи 4Мр через 3 года. Зададимся ставкой дисконтирования в 12%г: 9%г — безрисковая доходность на горизонте 3-х лет (с кривой бескупонной доходности гособлигаций) + 2%г за риски застройщика + 2%г за мою личную боль от расставания с деньгами (ну и 3Мр дают право на премиальное обслуживание во многих банках, что имеет вполне определённые выгоды).

Будем приводить к моменту сейчас. Обычно это нагляднее, потому что масштаб приобретений/потерь так понятнее: все мы знаем, что на 1000р можно купить сейчас, но что можно будет через 3 года — вопрос.

Сумму в 3Мр никуда приводить не надо, она уже в текущих деньгах. 4Мр через 3 года при нашей ставке дисконтирования превратятся в $$4\cdot (1+0.12{)}^{0-3}\approx 2.85$$ ($t_t=0$ т.к. приводим сумму к начальному моменту времени). Т.е. при номинальной прибыли в миллион рублей мы получим 150 тысяч фактического убытка (хочется сказать, что инвестиция бессмысленна, но это преждевременно — лучшего варианта у вас может и не оказаться).

Получившаяся сумма 2.85Мр называется обычно текущей (приведённой, дисконтированной) стоимостью будущих денежных потоков. Хотя я бы предпочёл более буквальный перевод английского термина present value (PV) — актуальная ценность. Т.к. в нашу ставку дисконтирования заложена субъективная составляющая, которая плохо согласуется со стоимостью. (Я буду использовать разные названия, в зависимости от на что хочу сделать акцент.)

Какова должна быть минимальная сумма, вырученная за квартиру, чтобы мы остались «при своих»? Найдём будущую приведённую стоимость (future value, FV) имеющихся 3Мр через 3 года по заданной ставке дисконтирования. В формуле выше $t=0$ (деньги у нас уже есть), $t_t=3$ (целевое время — через 3 года): $$3\cdot (1+0.12{)}^3\approx 4.2\text{Мр}.$$

Как сравнить денежные потоки с периодическими выплатами

Какая у нас есть альтернатива вложению в котлован из предыдущего раздела?

Пусть, для начала, это будет банковский вклад на те же 3 года под 7,5%г с ежемесячной капитализацией процентов. Т.к. проценты зачисляются на вклад, никаких периодических выплат у нас на самом деле нет, и нужно рассчитать сколько мы получим в конце срока. Т.к. каждый месяц наш капитал увеличивается на 7,5/12 %г, это будет $$V\cdot (1+r/n{)}^{n(t_t-t)}=3\cdot (1+0.075/12{)}^{12\cdot 3}\approx 3.75\text{Мр}$$ ($n$ — количество капитализаций за период, за который указана ставка).

С деньгами мы не расстаёмся, риск застройщика не несём (банк предполагаем абсолютно надёжным), поэтому ставка дисконтирования будет лишь 9%г. Т.е. актуальная ценность вложения будет $$3.75\cdot (1+0.09{)}^{-3}\approx 2.9\text{Мр}.$$

А если мы будем получать проценты на отдельный счёт? Считаем дисконтированную стоимость всех платежей (включая возврат депозита): $$\tilde{V}=\sum _i{V}_i(1+r_i{)}^{t_t-t_i}$$ ($V_i$ — размер $i$-го платежа, $t_i$ — время выплаты, $r_i$ — ставка для этого платежа).

Для каждого платежа, по-хорошему, нужно использовать свою ставку (как минимум, с той же кривой бескупонной доходности), потому что стоимость денег — неравномерна во времени, да и риски со временем тоже растут.

Что получаем (формул я выводить не буду, проще с каждым случаем разбираться в эксельке):

Ценность получилась чуть меньше, чем в случае с капитализацией процентов. Несмотря на то, что «деньги сейчас» ценнее «денег потом», начисление процентов на проценты в данном конкретном случае создаёт ценность быстрее, чем время её разрушает.

Однако такой расчёт имеет смысл только в том случае, если мы эти периодические платежи собираемся как-то использовать. Если у нас нет других вариантов, кроме как снова их вложить, то нас должна интересовать только ценность итоговой суммы после реинвестирования всех промежуточных выплат. То есть, мы попадаем под риск реинвестирования: процентная ставка новых вложений может оказаться меньше, чем была доступна вначале. Например, так:

В этом примере я предполагаю, что доступная ставка на остаток срока инвестирования линейно убывает. Выплаченные проценты каждый месяц реинвестируются под новую ставку.

Другой способ учесть риск реинвестирования — предположить, что все выплаты будут реинвестироваться под начальную же ставку (это будет аналогично капитализации процентов), но увеличить ставку дисконтирования, которая применяется к итоговой сумме. Чем больше периодическая выплата по отношению к сумме вложения — тем выше должна быть поправка на риск реинвестирования.

Сравнение с потоком реальных платежей

В предыдущих разделах мы сравнивали суммы номинальные, которые обесцениваются инфляцией, и закладывали в ставку дисконтирования их обесценение. Однако есть инструменты (ОФЗ-ИН, например), платежи по которым индексируются на инфляцию. В модели реинвестирования, если такая предполагается, будет фигурировать реальная ставка.

На примере тех же ОФЗ-ИН:

Комментарии к расчёту:

1. Я опустил нюансы с учётом уплаты НКД при первой покупке (эта сумма всё равно вернётся в первом купоне, так что ошибка невелика), и с задержкой индексации номинала.
2. Предполагается, что через 3 года мы продадим облигации по номиналу, и не заплатим налог с дохода от продажи по ЛДВ.
3. Индексирование номинала является процентным доходом, и ЛДВ к нему не относится. НДФЛ заплатить придётся. Процент потерь на этом определяется как $$(1-t)+\frac{t}{(1+i{)}^T},$$ где $t$ — ставка налога, $i$ — инфляция, $T$ — срок. То есть, если цена облигаций не растёт, мы, в реальном выражении, получим чуть меньше вложенного, из-за налога на индексацию номинала. Ожидаемую инфляцию возьмём с той же кривой бескупонной доходности на дату возврата инвестиций (поправив на политику ЦБ).  Налоговый кодекс здесь читается неоднозначно. Официальных разъяснений пока нет, и, по крайней мере некоторые, брокеры применяют ЛДВ к индексации номинала.
4. Сумма к возврату в конце срока дисконтируется на реальную ставку ЦБ, чтобы обеспечить сопоставимость с остальными расчётами. Номинальные денежные потоки дисконтировали на номинальную стоимость денег, реальные — дисконтируем на реальную. Другие риски и собственные предпочтения я в модели не закладывал. Оценить реальную ставку можно через разницу в доходностях к погашению инфляционных облигаций и облигаций с фиксированным купоном.
5. Если бы в предыдущих случах вместо стоимости денег мы дисконтировали на инфляцию, в этом расчёте ничего дисконтировать бы не пришлось (в заданных предположениях).

Вечные потоки

В предыдущих разделах мы рассчитывали инструменты с возвратом капитала. Однако, есть и бессрочные вложения: акции, вечные облигации, недвижимость... Но, как говорил мой преподаватель физики по совершенно другому поводу, «для нас бесконечность заканчивается гораздо раньше». В этом случае в качестве величины возвращаемого капитала в конце срока инвестирования (= на горизонте инвестирования) мы должны взять оценку ожидаемой рыночной стоимости актива.

Ссылки по теме