О доходности взвешенных по капитализации портфелей в условиях зашумлённых рыночных цен (физмат-этюд)

Одна из известных претензий ко взвешиванию по капитализации заключается в том, что оно приводит к росту весов переоценённых компаний в портфеле (с низкой ожидаемой доходностью), и снижению весов недооценённых (с высокой ожидаемой доходностью), что влечёт за собой снижение доходности портфеля. Авторы статьи «Cap-Weighted Portfolios are Sub-Optimal Portfolios» решили это доказать, однако переусложнили выкладки и запутались в них, придя к ошибочному результату.

Ниже я приведу более простое (и при более реалистичных предположениях) доказательство отсутствия такого эффекта, чем в корректирующей статье.

Итак. Если:

• у акций существует справедливая (фундаментально-обоснованная) цена,
• рыночная цена акции не является справедливой, но включает в себя случайную переоценку/недооценку с нулевым матожиданием (тем не менее, допускается, что переоценка/недооценка будет наблюдаться продолжительное время; также допускается переоценка/недооценка рынка в целом),
• корреляции между переоценками/недооценками отдельных акций можно считать случайными величинами с нулевым матожиданием,

то, со снижением концентрации (в смысле суммы квадратов весов, грубо — с увеличением количества акций), ожидаемая доходность взвешенного по капитализации портфеля стремится к доходности портфеля, взвешенного на основании справедливых цен.

Дальше могут читать только те, кто заинтересован в математике.

Предположим, что для каждой компании $i$ в каждый момент времени $t$ существует справедливая цена акции $P_{i,t}$ (вообще, я придерживаюсь мнения что такую цену установить невозможно i На рынке не бывает справедливых цен Потому что для каждого инвестора справедливая цена — своя , но тогда мы ничего интересного не докажем). Однако эту цену можно только предполагать, а в реальности мы имеем дело с рыночной ценой ${\hat{P}}_{i,t}$, которая отличается от справедливой на величину рыночного шума: $${\hat{P}}_{i,t}=P_{i,t}(1+{\epsilon }_{i,t}),$$ где ${\epsilon }_{i,t}$ — случайная величина с нулевым матожиданием ($E[{\epsilon }_{i,t}]=0$) и дисперсией ${\sigma }^2$ ($D[{\epsilon }_{i,t}]={\sigma }^2$), для каждой компании и в каждый момент времени. Фактически распределения, конечно, разные, но мы можем принять, что цена каждой компании зашумлена так же, как у наихудшей из них.

Веса компаний в портфеле пропорциональны капитализации ($S_i$ — количество акций компании): $${\hat{w}}_{i,t}=\frac{{\hat{P}}_{i,t}{S}_i}{{\sum }_k{\hat{P}}_{k,t}{S}_k}$$ или $$\begin{array}{rl}{\hat{w}}_{i,t}=& \frac{P_{i,t}(1+{\epsilon }_{i,t})S_i}{{\sum }_k{P}_{k,t}(1+{\epsilon }_{k,t})S_k}\\ =& \frac{P_{i,t}{S}_i(1+{\epsilon }_{i,t})}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k+{\sum }_m{P}_{m,t}{S}_m{\epsilon }_{m,t}}\\ =& \frac{P_{i,t}{S}_i(1+{\epsilon }_{i,t})}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k+{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k\frac{{\sum }_m{P}_{m,t}{S}_m{\epsilon }_{m,t}}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k}}\\ =& \frac{P_{i,t}{S}_i(1+{\epsilon }_{i,t})}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k\left(1+\frac{{\sum }_m{P}_{m,t}{S}_m{\epsilon }_{m,t}}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k}\right)}\\ =& \frac{P_{i,t}{S}_i(1+{\epsilon }_{i,t})}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k(1+{\overline{\epsilon }}_t)}\\ =& \frac{P_{i,t}{S}_i}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k}\frac{1+{\epsilon }_{i,t}}{1+{\overline{\epsilon }}_t}\\ =& w_{i,t}\frac{1+{\epsilon }_{i,t}}{1+{\overline{\epsilon }}_t},\end{array}$$ где $w_{i,t}$ — «справедливый» вес акции, ${\overline{\epsilon }}_t=\frac{{\sum }_m{P}_{m,t}{S}_m{\epsilon }_{m,t}}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k}={\sum }_m{w}_{m,t}{\epsilon }_{m,t}$.

Доходность акции за период $[t;t+1]$ равна $$\begin{array}{r}{\hat{R}}_{i,t+1}=\frac{{\hat{P}}_{i,t+1}}{{\hat{P}}_{i,t}}=\frac{P_{i,t+1}(1+{\epsilon }_{i,t+1})}{P_{i,t}(1+{\epsilon }_{i,t})}=\frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\epsilon }_{i,t}}=R_{i,t+1}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\epsilon }_{i,t}}.\end{array}$$

Доходность портфеля — это взвешенная доходность входящих в него акций: $$\begin{array}{rl}{\hat{R}}_{P,t+1}=& \sum _i{\hat{w}}_{i,t}{\hat{R}}_{i,t+1}\\ =& \sum _i{w}_{i,t}\frac{1+{\epsilon }_{i,t}}{1+{\overline{\epsilon }}_t}{R}_{i,t+1}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\epsilon }_{i,t}}\\ =& \sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t+1}\frac{1+{\epsilon }_{i,t}}{1+{\overline{\epsilon }}_t}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\epsilon }_{i,t}}\\ =& \sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t+1}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\overline{\epsilon }}_t}.\end{array}$$

Ожидаемая доходность портфеля будет равна: $$\begin{array}{rl}E[{\hat{R}}_{P,t+1}]=& E\left[\sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t+1}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\overline{\epsilon }}_t}\right]\\ =& \sum _{i}E[w_{i,t}{R}_{i,t+1}]E\left[\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\overline{\epsilon }}_t}\right]\\ & \text{(разложим }1/(1+{\overline{\epsilon }}_t)\text{ в ряд Тейлора)}\\ \approx & \sum _{i}E[w_{i,t}{R}_{i,t+1}]E\left[(1+{\epsilon }_{i,t+1})(1-{\overline{\epsilon }}_t+{\overline{\epsilon }}_t^2)\right]\\ =& \sum _{i}E[w_{i,t}{R}_{i,t+1}]E\left[1-{\overline{\epsilon }}_t+{\overline{\epsilon }}_t^2+{\epsilon }_{i,t+1}-{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t+{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t^2\right]\\ =& \sum _{i}E[w_{i,t}{R}_{i,t+1}]\left(1-E[{\overline{\epsilon }}_t]+E[{\overline{\epsilon }}_t^2]+E[{\epsilon }_{i,t+1}]-E[{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t]+E[{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t^2]\right).\end{array}$$

Поработаем со множителями, отвечающими за величину отставания от доходности «справедливого» портфеля ($R_{P,t+1}={\sum }_i{w}_{i,t}{R}_{i,t+1}$): $$\begin{array}{rl}& E[{\epsilon }_{i,t+1}]=0.\\ & E[{\overline{\epsilon }}_t]=E\left[\frac{{\sum }_m{P}_{m,t}{S}_m{\epsilon }_{m,t}}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k}\right]=\frac{{\sum }_m{P}_{m,t}{S}_{m}E[{\epsilon }_{m,t}]}{{\sum }_k{P}_{k,t}{S}_k}=0.\\ & E[{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t]=E\left[{\epsilon }_{i,t+1}\sum _k{w}_{k,t}{\epsilon }_{k,t}\right]=\sum _k{w}_{k,t}E[{\epsilon }_{i,t+1}{\epsilon }_{k,t}]=\sum _k{w}_{k,t}(E[{\epsilon }_{i,t+1}]E[{\epsilon }_{k,t}]+Cov[{\epsilon }_{i,t+1},{\epsilon }_{k,t}])\\ & =\sum _k{w}_{k,t}Cov[{\epsilon }_{i,t+1},{\epsilon }_{k,t}].\end{array}$$ Предположим здесь, что $Cov[{\epsilon }_{i,t+1},{\epsilon }_{k,t}]$ является случайной величиной ($C_{i,k,t}$) с нулевым матожиданием и дисперсией ${\sigma }^2$ (также $D[{\epsilon }_{i,t}]={\sigma }^2\Rightarrow \left|Cov[{\epsilon }_{i,t+1},{\epsilon }_{k,t}]\right|⩽{\sigma }^2$, но это условие нам не понадобится).

Посмотрим, как ведёт себя распределение этой суммы: $$\begin{array}{rl}& E\left[\sum _k{w}_{k,t}{C}_{i,k,t}\right]=\sum _k{w}_{k,t}E[C_{i,k,t}]=0.\\ & D\left[\sum _k{w}_{k,t}{C}_{i,k,t}\right]=\sum _k{w}_{k,t}^{2}D[C_{i,k,t}]={\sigma }^2\sum _k{w}_{k,t}^2.\end{array}$$

Имеем что $$E[{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t]\sim X_1\{0,{\sigma }^2{H}_t\},$$ где $H_t={\sum }_k{w}_{k,t}^2$ (индекс концентрации Херфиндаля-Хиршмана).

$$\begin{array}{rl}& E[{\overline{\epsilon }}_t^2]=E[{\overline{\epsilon }}_t{]}^2+D[{\overline{\epsilon }}_t]=0+D[\sum _i{w}_{i,t}{\epsilon }_{i,t}]=\sum _i{w}_{i,t}^{2}D[{\epsilon }_{i,t}]+2\sum _{i<j}Cov[w_{i,t}{\epsilon }_{i,t},w_{j,t}{\epsilon }_{j,t}]\\ & ={\sigma }^2\sum _i{w}_{i,t}^2+2\sum _{i<j}{w}_{i,t}{w}_{j,t}Cov[{\epsilon }_{i,t},{\epsilon }_{j,t}]\end{array}$$ Применив здесь для ковариации аналогичные рассуждения получим $$E[{\overline{\epsilon }}_t^2]={\sigma }^2{H}_t+X_2\{0,{\sigma }^2{H}_t^{(2)}\},$$ где $H_t^{(2)}=2{\sum }_{i<j}{w}_{i,t}^2{w}_{j,t}^2$.

$$\begin{array}{rl}& E[{\epsilon }_{i,t+1}{\overline{\epsilon }}_t^2]=E\left[{\epsilon }_{i,t+1}\sum _k{w}_{k,t}^2{\epsilon }_{k,t}^2\right]=\sum _k{w}_{k,t}^{2}E[{\epsilon }_{i,t+1}{\epsilon }_{k,t}^2]=\sum _k{w}_{k,t}^{2}Cov[{\epsilon }_{i,t+1},{\epsilon }_{k,t}^2]\sim X_3\{0,{\sigma }_2^2{H}_t\}\end{array}$$

Итак, $$\begin{array}{rl}E[{\hat{R}}_{P,t+1}]& =\sum _{i}E[w_{i,t}{R}_{i,t+1}](1+{\sigma }^2{H}_t-X_1\{0,{\sigma }^2{H}_t\}+X_2\{0,{\sigma }^2{H}_t^{(2)}\}+X_3\{0,{\sigma }_2^2{H}_t\})\\ & =(1+{\sigma }^2{H}_t-X_1\{0,{\sigma }^2{H}_t\}+X_2\{0,{\sigma }^2{H}_t^{(2)}\}+X_3\{0,{\sigma }_2^2{H}_t\})E[\sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t+1}]\\ & =(1+{\sigma }^2{H}_t-X_1\{0,{\sigma }^2{H}_t\}+X_2\{0,{\sigma }^2{H}_t^{(2)}\}+X_3\{0,{\sigma }_2^2{H}_t\})E[R_{P,t+1}].\end{array}$$

Увеличение диверсификации портфеля соответствует $H_t\to 0$, при этом $D[X_i]\to 0$ и реализации $X_i$ всё меньше отличаются от 0. Таким образом $$E[{\hat{R}}_{P,t+1}]\stackrel{H_t\to 0}{\to }E[R_{P,t+1}].$$ Т.е. доходность портфеля взвешенного по капитализации стремится к доходности «справедливого» портфеля.

Если мы, как и авторы исходной статьи, предположим независимость всех шумов, то $X_i$ обнулятся и получится, что зашумлённость рыночных цен создаёт премию к доходности портфеля: $$E[{\hat{R}}_{P,t+1}]=(1+{\sigma }^2{H}_t)E[R_{P,t+1}].$$ Но предположение это, конечно, неправомерно: переоценка/недооценка акций имеет и автокорреляцию, и скоррелирована с переоценкой/недооценкой аналогов, так что эта премия тонет в «корреляционных шумах» $X_i$ и сходит на ноль вместе с ними при увеличении диверсификации.

Тем не менее, чтобы забрать эту премию авторы предлагают пользоваться взвешиваниями, не зависящими от рыночных цен. Рассмотрим и этот случай. Пусть мы имеем веса акций в портфеле ${\tilde{w}}_{i,t}$, определённые с некоторой ошибкой ${\nu }_{i,t}$ относительно справедливых: $${\tilde{w}}_{i,t}=w_{i,t}(1+{\nu }_{i,t}),$$ причём предполагается, что $E[{\nu }_{i,t}]=0$.

Аналогично рассуждениям выше, найдём матожидание доходности такого портфеля:

$$\begin{array}{rl}{\tilde{R}}_{P,t+1}& =\sum _i{w}_{i,t}(1+{\nu }_{i,t})R_{i,t}\frac{1+{\epsilon }_{i,t+1}}{1+{\epsilon }_{i,t}}\\ & \approx \sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t}(1+{\nu }_{i,t})(1+{\epsilon }_{i,t+1})(1-{\epsilon }_{i,t}+{\epsilon }_{i,t}^2)\\ & =\sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t}(1-{\epsilon }_{i,t}+{\epsilon }_{i,t}^2+{\epsilon }_{i,t+1}-{\epsilon }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}+{\epsilon }_{i,t}^2{\epsilon }_{i,t+1}+{\nu }_{i,t}-{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}+{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}^2+{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}-{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}+{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}^2{\epsilon }_{i,t+1})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& E[{\epsilon }_{i,t}]=E[{\epsilon }_{i,t+1}]=0.\\ & E[{\nu }_{i,t}]=0.\\ & \text{Ввиду независимости }\nu \text{ от рыночного шума:}\\ & E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}]=E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}^2]=E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}]=E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}]=E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}^2{\epsilon }_{i,t+1}]=0.\\ & E[{\epsilon }_{i,t}^2]={\sigma }^2\\ & E[{\epsilon }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}]=Cov[{\epsilon }_{i,t},{\epsilon }_{i,t+1}]=\rho {\sigma }^2\text{ (}\rho \text{ — коэфф. автокорреляции рыночного шума)}\\ & E[{\epsilon }_{i,t}^2{\epsilon }_{i,t+1}]=E[{\epsilon }_{i,t}]E[{\epsilon }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}]=\rho {\sigma }^4\approx 0\text{ (предполагаем что ковариация тоже пренебрежимо мала)}\end{array}$$

Тогда действительно $$\begin{array}{r}E[{\tilde{R}}_{P,t+1}]=(1+{\sigma }^2-\rho {\sigma }^2)E\left[\sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t+1}\right]=(1+{\sigma }^2-\rho {\sigma }^2)E[R_{P,t+1}].\end{array}$$ Получается, что портфель с совершенно произвольным взвешиванием (ведь на величину ошибки $\nu$ не накладывается никаких ограничений), не зависящим от рыночных цен, будет опережать портфель взвешенный по капитализации?

Нет: если мы не задаёмся целью рассчитать истинный фундаментально-обоснованный вес компании, а просто выбираем «удобное» взвешивание, то для каждой компании $i$ наша ошибка в определении её веса будет иметь устойчивое смещение $E[{\nu }_{i,t}]=b_{i,t}$. Тогда $$\begin{array}{rl}& E[{\nu }_{i,t}]=b_{i,t}.\\ & E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}]=E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}]=0.\\ & E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}^2]=b_{i,t}{\sigma }^2.\\ & E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}{\epsilon }_{i,t+1}]=b_{i,t}\rho {\sigma }^2.\\ & E[{\nu }_{i,t}{\epsilon }_{i,t}^2{\epsilon }_{i,t+1}]\approx 0.\end{array}$$

В результате получим $$\begin{array}{rl}E[{\tilde{R}}_{P,t+1}]& =E\left[\sum _i{w}_{i,t}{R}_{i,t}(1+{\sigma }^2-\rho {\sigma }^2+b_{i,t}+b_{i,t}{\sigma }^2-b_{i,t}\rho {\sigma }^2)\right]\\ & =(1+{\sigma }^2-\rho {\sigma }^2)\left(E[R_{P,t+1}]+\sum _{i}E[w_{i,t}{R}_{i,t}]b_{i,t}\right),\end{array}$$ подтвердив очевидный вывод, что систематическое (в противовес преходящему, как при взвешивании по капитализации) отклонение от «справедливых» весов приводит к систематическому же отклонению в доходности портфеля от «справедливого». И это отклонение дополнительно усиливается рыночным шумом.