Рынок как игра с нулевой суммой

Формальная модель

Определим рынок как совокупность некоторых активов.

Эти активы приносят доход ($I$) в виде ренты и роста своей стоимости за счёт чистого притока новых денег на этот рынок. $$I=\sum I_i$$

Рыночная доходность — это суммарный доход за период, отнесённый к суммарной начальной стоимости активов ($P$).

$$P=\sum P_i$$

$$R=I/P$$

Простым арифметическим преобразованием получаем, что рыночная доходность ($R$) — это сумма доходностей отдельных активов ($R_i$) с весами, взятыми пропорционально их капитализации на начало периода. $$R=\frac{I}{P}=\frac{\sum I_i}{P}=\sum \frac{P_i}{P}\frac{I_i}{P_i}=\sum W_i{R}_i$$

Так мы получили индекс полного рынка, который и имеется в виду под «индексом» во всех подобного рода рассуждениях.

Определим участника рынка как владельца части активов, торгующихся на рассматриваемом рынке (другие активы в его собственности не рассматриваем!). Участники рынка владеют всеми активами данного рынка. Следовательно, участники рынка в совокупности получают доход, в точности равный доходу от активов этого рынка (минус транзакционные издержки).

По определению, суммарный размер капитала участников равен суммарной стоимости активов. $$C=\sum C_p=\sum P_i=P$$

Следовательно, общий доход участников равен общему доходу от активов, а их взвешенная по размеру капитала доходность равна рыночной доходности ($w_{ip}$ — вес $i$-го актива у $p$-го участника). $$\hat{R}=\sum _p\left(\frac{C_p}{C}\sum _i{w}_{ip}\frac{I_i}{P_i}\right)=\sum _i\left(\frac{I_i}{P_i}\sum _p\frac{C_p}{C}{w}_{ip}\right)=\sum _i\frac{I_i}{P_i}\frac{P_i}{C}=R$$

Средним участником рынка называется участник, имеющий средневзвешенную по всем участникам доходность = рыночную доходность.

Рыночным (индексным) портфелем назовём портфель, состоящий из всех активов данного рынка в долях, пропорциональных их капитализации ($W_i$). Как показано выше, доходность рыночного портфеля равна рыночной доходности.

Пассивным инвестором на рынке M назовём участника рынка M, который держит рыночный портфель. Остальных участников будем называть активными инвесторами.

До учёта транзакционных издержек, средневзвешенные доходности активных (индекс $a$) и пассивных (индекс $p$) инвесторов одинаковы и равны рыночной доходности. $$R=\frac{C_a{R}_a+C_p{R}_p}{C}\Rightarrow R_a=\frac{CR-C_p{R}_p}{C_a}=\frac{(C-C_p)R}{C_a}=R$$

Другими словами, если все инвесторы в совокупности получают рыночную доходность, то после исключения тех, кто получает рыночную доходность в силу структуры портфеля, оставшиеся неизбежно получат рыночную же доходность.

Следовательно, получение активными инвесторами доходности выше среднерыночной возможно только за счёт других активных же инвесторов.

Т.к. индексный портфель, в отличие от активного, не требует расходов на управление, активные инвесторы в совокупности всегда будут отставать от пассивных, отдавая часть своей доходности на транзакционные издержки.

Некоторые комментарии

Как вы могли заметить, нигде в этих рассуждениях не была использована гипотеза эффективного рынка. Часто можно услышать утверждение, что теоретическую основу пассивных инвестиций составляет тот факт, что рынки эффективны ⇒ выбор активов не имеет смысла, а значит можно просто купить самый дешёвый индекс. А если к эффективности рынков есть вопросы, значит и выбор активов, и выбор времени входа/выхода могут иметь место. Но аргумент Шарпа даёт куда более сильное обоснование пассивному подходу: неважно, эффективен рынок или нет, пассивный инвестор не может получить прибыль ниже среднерыночной. А вот активная позиция всегда ставит его в уязвимое положение. Отказ от игры ведёт не к проигрышу, а к выигрышу по сравнению со средним игроком т.к. издержки активных игроков всегда выше, чем у пассивных.

К сожалению, «пассивными инвестициями» сейчас называют практически всё что угодно, очень часто приплетая к своему пониманию пассивности результаты вышеизложенной модели (а также множества других исследований о превосходстве индексного подхода для частного инвестора над активными операциями на рынке). Поэтому запомните её ключевое требование, чтобы не попасться в ловушку плохих определений: пассивный инвестор всегда удерживает портфель, повторяющий взвешенный по капитализации индекс полного рынка, на котором инвестор является пассивным.

Нельзя быть пассивным инвестором «вообще». Определение пассивного инвестора требует указания рынка (перечня активов), на котором инвестор будет пассивным. Можно быть пассивным инвестором на отдельных рынках (например, акций и облигаций), но активным — на совокупном рынке (если доли акций и облигаций в портфеле не соответствуют их долям в мировом рынке). В последнем случае вы можете отдавать часть своей доходности другим активным инвесторам, с другим распределением активов (например, премия за ребалансировку — это форма активного дохода, получаемая за счёт тех инвесторов, чья доля в продаваемом активе выше среднерыночной, а в покупаемом — ниже).

Даже если ваш портфель содержит все торгуемые активы пропорционально их каптиализации, расширение рассматриваемого рынка включением в него неторгуемых активов, сделает вас активным инвестором на этом расширенном рынке, и возможной «жертвой» активных инвесторов (в случае перетока капитала из торгуемых активов в неторгуемые). Быть пассивным инвестором на расширенном рынке невозможно т.к. неторгуемые активы в общем случае неделимы и их капитализация не определена. К неторгуемым активам относится, например, частный бизнес в т.ч. сдача в аренду отдельных объектов недвижимости.

Но даже все торгуемые активы вы едва ли захотите иметь пропорционально их капитализации. Потому что это будет означать, что примерно 38% вашего портфеля будут занимать облигации и золото (которые не приносят долгосрочного дохода), а ещё 28% — наличные деньги, обесценивающиеся инфляцией.

Т.е. в глобальном смысле любой инвестор занимает активную позицию, как минимум связанную с его целями по риску и доходности вложений. Но на каждом конкретном рынке он может отказаться конкуренции с другими инвесторами за повышенную доходность, устранив тем самым вероятность получить на нём доходность пониженную.

Возможности для активных инвесторов, не учитываемые моделью

Аргумент Шарпа не запрещает существование групп активных инвесторов, которые могут систематически проигрывать другим группам (например, наивные частные инвесторы или институциональные инвесторы, действующие вынужденно).

Также, активные инвесторы могут иметь преимущество перед пассивными, избирательно участвуя в операциях размещения и выкупа акций компаниями (модель не предполагает изменения количества активов на рынке, только приток и отток капитала). Однако сами объёмы размещений и выкупов относительно общей рыночной капитализации невелики (порядка первых процентов в год), а возможные потери на них — в десятки раз меньше. Предположим, что новые компании должны иметь долю в 1% портфеля, то, соответственно, «вынужденный» спрос на их акции от пассивных инвесторов составит [доля компании в рыночной капитализации] × [доля пассивных инвесторов на рынке], что в предельном случае даёт тот же 1% их капитала. На идеально ликвидном рынке (где рыночная капитализация компании строго равна сумме вложенных в её акции денег) такой вынужденный спрос приведёт к росту цены акции на этот же 1% т.е. потери пассивных инвесторов в пользу активных составят 0,005% (т.к. цена будет расти к максимальному значению от равновесного по мере закупки акций пассивными инвесторами, а не сразу установится в предельное значение). Даже на неликвидном рынке, где приток денег в акцию в размере 1% от капитализации компании приводит к её росту на 10% (который затем весь будет «растащен» активными инвесторами), потери пассивных инвесторов в пользу активных будут всего лишь 0,05% капитала.

Таким же образом можно оценить потери «пассивных» фондов (и доходы активных) на ребалансировке между классами активов, которые, при оборачиваемости портфеля таких фондов около 15% в год, в пределе выливаются уже в заметные 0,75%г при «коэффициенте ликвидности» равном 0,1 (к слову, доля таких фондов на рынке сейчас порядка 1%, так что пока эти потери меньше 0,0075%г; всего же активы пассивных фондов составляют примерно 10–15% капитализации фондового рынка, и то это с учётом фондов на различные сегменты рынка, а также факторных, которые уже совсем не пассивные). Частный же инвестор на своей ребалансировке терять практически не будет, т.е. его время ребалансировки непредсказуемо и, следовательно, неэксплуатируемо.

Гипотезы об эффективности/неэксплуатируемости рынков позволяют сделать более сильное утверждение о невозможности систематического получения доходности выше среднерыночной даже внутри группы активных инвесторов и даже с учётом перетока капитала через границы рынков (а значит, необязательности для пассивного инвестора иметь строго рыночный портфель, и отсутствия систематически проигрывающих групп активных инвесторов). Однако, они уже не являются математическими доказательствами и работают не всегда (хотя, с повышением информационной прозрачности рынков, можно говорить, что уже практически всегда). Но об этом в другой статье.