Эффективность рыночной экономики: упрощённое доказательство

Оптимальность

Пусть на рынке существует:

• $G$ благ с ценами $p_g>0$, соответственно $\vec{p}$ — вектор цен всех товаров.
• $F$ фирм, у которых
  • $P_f=\{\vec{y}{\}}_f\subset R^G$ — множество допустимых производственных планов (отрицательные элементы вектора $\vec{y}$ — потребляемые блага, положительные — производимые),
  • ${\vec{y}}_f\in P_f$ — выбранный производственный план,
  • ${\pi }_f=\vec{p}{\vec{y}}_f$ — прибыль фирмы $f$,
• $H$ потребителей, у которых
  • $C_h=\{\vec{x}{\}}_f\subset R^G$ — множество допустимых планов потребления (положительные элементы вектора $\vec{x}$ — потребляемые блага, отрицательные — поставляемые на рынок),
  • ${\vec{x}}_h$ — выбранный план потребления,
  • $u_h(\vec{x})$ — функции полезности набора благ (индивидуальные и субъективные у каждого потребителя),
  • $s_{hf}$ — доля потребителя $h$ в фирме $f$ ($\forall f{\sum }_h{s}_{hf}=1$),
  • ${\sum }_f{s}_{hf}{\pi }_f$ — доход потребителя от собственности,
  • $\vec{p}{\vec{x}}_h={\sum }_f{s}_{hf}{\pi }_f=w_h$ — стоимость потребляемых благ равна доходу потребителя (сбережения также считаются благом).

Обычно доказательство эффективности излагается в предположении, что ${\vec{x}}_h$ — это конечные наборы благ, которые потребители готовы купить/поставить на рынок. Это логично при последовательном изложении микроэкономики, но изолированное доказательство мне представляется более удобным, когда планы производства и потребления представляют долгосрочные контракты или устойчивые повторяющиеся сделки: математически это ни на что не влияет (вместо «запаса» оперируем «потоком»), но такая модель проще привязывается к реальности:

• потоки легко допускают бесконечную делимость (условно, сапожник шьёт 1/10 пары сапогов в день, а я потребляю 1/1500),
• сходимость цен к равновесным обеспечивается за счёт плавного их изменения, с перестройкой потоков под новые цены, тогда как модель запасов требует, чтобы сделки по неравновесным ценам не заключались.

При этом:

• фирмы максимизируют прибыль: $$\forall f{\vec{y}}_f=\underset{\vec{y}\in P_f}{\mathrm{argmax}}\vec{p}\vec{y},$$
• потребители максимизируют полезность (доступного) набора потребляемых благ: $$\forall h{\vec{x}}_h=\underset{\vec{x}\in C_h}{\mathrm{argmax}}\{u_h(\vec{x}):\vec{p}\vec{x}=w_h\},$$
• потребности ненасыщаемы: всегда можно увеличить полезность набора благ добавив сколь угодно малое количество хотя бы одного блага: $$\forall h\forall {\vec{x}}_h\forall \epsilon >0\exists {\vec{x}}_h^{\prime }:||{\vec{x}}_h^{\prime }-{\vec{x}}_h||<\epsilon ,u_h({\vec{x}}_h^{\prime })>u_h({\vec{x}}_h),$$

Тогда
если рынок находится в равновесии (спрос равен предложению): $$\sum _h{\vec{x}}_h=\sum _f{\vec{y}}_f,$$ то
распределение благ $X=[{\vec{x}}_1,\dots ,{\vec{x}}_h]$ является Парето-оптимальным: не существует такого допустимого (при соблюдении бюджетных ограничений потребителей и производственных ограничений фирм) $X^{\prime }$, чтобы можно было бы улучшить положение хотя бы одного потребителя не ухудшив никого из остальных: $$\nexists X^{\prime }:\exists h{u}_h({\vec{x}}_h^{\prime })>u_h({\vec{x}}_h),\forall h{u}_h({\vec{x}}_h^{\prime })⩾u_h({\vec{x}}_h).$$

Докажем это утверждение, предположив, что такое $X^{\prime }$ существует (допустимому распределению благ $X^{\prime }$ соответствует допустимый план производства $Y^{\prime }=[{\vec{y}}_1^{\prime },\dots ,{\vec{y}}_F^{\prime }]$).

Тогда

• $X^{\prime }$ дороже $X$: ${\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }>{\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h$:
  • $u_1({\vec{x}}_1^{\prime })>u_1({\vec{x}}_1)\Rightarrow \vec{p}{\vec{x}}_1^{\prime }>w_1=\vec{p}{\vec{x}}_1$
    Поставим потребителя, улучшившего своё положение первым номером. Вывод очевидно следует из $${\vec{x}}_1=\underset{\vec{x}}{\mathrm{argmax}}\{u_1(\vec{x}):\vec{p}{\vec{x}}_1=w_1\}.$$ Если бы $\vec{p}{\vec{x}}_1^{\prime }⩽w_1$, то ${\vec{x}}_1^{\prime }$ входил бы в $X$ вместо $X^{\prime }$.
  • $u_h({\vec{x}}_h^{\prime })⩾u_1({\vec{x}}_h)\Rightarrow \vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }⩾\vec{p}{\vec{x}}_h$
    Предположим обратное: $\exists i:u_i({\vec{x}}_i^{\prime })⩾u_i({\vec{x}}_i)$ и $\vec{p}{\vec{x}}_i^{\prime }<\vec{p}{\vec{x}}_i$.
    Обозначим $\delta =\vec{p}{\vec{x}}_i-\vec{p}{\vec{x}}_i^{\prime },\epsilon =\delta /||\vec{p}||$.
    Из ненасыщаемости потребностей $\exists {\vec{x}}_i^{\prime \prime }:||{\vec{x}}_i^{\prime \prime }-{\vec{x}}_i^{\prime }||<\epsilon ,u_i({\vec{x}}_i^{\prime \prime })>u_i({\vec{x}}_i^{\prime })$.
    $\vec{p}{\vec{x}}_i^{\prime \prime }=\vec{p}({\vec{x}}_i^{\prime \prime }-{\vec{x}}_i^{\prime })+\vec{p}{\vec{x}}_i^{\prime }=\vec{p}({\vec{x}}_i^{\prime \prime }-{\vec{x}}_i^{\prime })+(\vec{p}{\vec{x}}_i-\delta )$
    $\vec{a}\vec{b}⩽||\vec{a}||||\vec{b}||\Rightarrow \vec{p}({\vec{x}}_i^{\prime \prime }-{\vec{x}}_i^{\prime })⩽||\vec{p}||\epsilon =||\vec{p}||\frac{\delta }{||\vec{p}||}=\delta$
    Т.е. $\vec{p}{\vec{x}}_i^{\prime \prime }⩽\delta +(\vec{p}{\vec{x}}_i-\delta )=\vec{p}{\vec{x}}_i$
    Но $u_i({\vec{x}}_i^{\prime \prime })>u_i({\vec{x}}_i^{\prime })⩾u_i({\vec{x}}_i)$ ⇒ потребитель должен был бы выбрать ${\vec{x}}_i^{\prime \prime }$ вместо ${\vec{x}}_i$.
    Таким образом, предположение неверно и $\vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }⩾\vec{p}{\vec{x}}_h$.
  • Т.к. $\vec{p}{\vec{x}}_1^{\prime }>\vec{p}{\vec{x}}_1$ и $\forall n>1\vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }⩾\vec{p}{\vec{x}}_h$, то ${\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }>{\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h$
• Тогда $Y^{\prime }$ прибыльнее $Y$: ${\sum }_f\vec{p}{\vec{y}}_f^{\prime }>{\sum }_f\vec{p}{\vec{y}}_f$:
  Из равновесия ${\sum }_h{\vec{x}}_h={\sum }_f{\vec{y}}_f\Rightarrow {\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h={\sum }_f\vec{p}{\vec{y}}_f$,
  Аналогично ${\sum }_h{\vec{x}}_h^{\prime }={\sum }_f{\vec{y}}_f^{\prime }\Rightarrow {\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }={\sum }_f\vec{p}{\vec{y}}_f^{\prime }$.
  Но ${\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h^{\prime }>{\sum }_h\vec{p}{\vec{x}}_h\Rightarrow {\sum }_f\vec{p}{\vec{y}}_f^{\prime }>{\sum }_f\vec{p}{\vec{y}}_f$.
• Тогда $\exists f:\vec{p}{\vec{y}}_f^{\prime }>\vec{p}{\vec{y}}_f$ — какая-то из фирм выбрала план производства, не максимизирующий прибыль прибыль, но ${\vec{y}}_f={\mathrm{argmax}}_{\vec{y}\in P_f}p\vec{y}$. Получили противоречие с условием ⇒ $X^{\prime }$ не существует.

Т.е. распределение благ при рыночном равновесии не является Парето-оптимальным только если:

• или потребители действуют нерационально, выбирая наборы благ не соответствующие максимальной полезности для себя,
• или фирмы действуют нерационально, не максимизируя свою прибыль.

При условии рациональности потребителей, максимизация фирмами своей прибыли (объективной!) приводит к максимизации доступной потребителям полезности (субъективной!).

Существование

Мы установили, что если рынок находится в равновесии, то распределение благ Парето-оптимально. Но существует ли такое равновесие? Нам потребуется несколько дополнительных предположений.

1. Функции полезности потребителей $u_h(\vec{x})$ — непрерывны, а множества допустимых планов потребления $C_h$ ограничены снизу и включают в себя эту границу. Тогда для каждого потребителя существует ${\vec{x}}_h={\mathrm{argmax}}_{\vec{x}\in C_h}\{u_h(\vec{x}):\vec{p}\vec{x}=w_h\}$. Множество $\{\vec{x}:\vec{p}\vec{x}=w_h\}$ ­— ограничено (возможное количество потребляемого блага находится в границах от $-{\ell }_{gh}$ (если оно поставляется потребителем на рынок) до $w_h/p_g$) и замкнуто (множество включает в себя эти границы). Тогда существование максимума непрерывной $u_h(\vec{x})$ гарантируется теоремой Вейерштрасса.
2. Множества допустимых производственных планов $P_f$ — ограничены и замкнуты, тогда для каждой фирмы существует ${\vec{y}}_f={\mathrm{argmax}}_{\vec{y}\in P_f}\vec{p}\vec{y}$.
3. Совокупные планы производства и потребления $\hat{x}(\vec{p})={\sum }_h{\vec{x}}_h(\vec{p}),\hat{y}(\vec{p})={\sum }_f{\vec{y}}_f(\vec{p})$ являются непрерывными однозначными функциями от цен.

Обозначим избыточный спрос как $z(\vec{p})=\hat{x}(\vec{p})-\hat{y}(\vec{p})$. Он также является непрерывной функцией от цен.

Заметим, что $\forall \alpha >0\mathrm{argmax}\alpha f(x)=\mathrm{argmax}f(x)$, т.е. ${\vec{y}}_f(\vec{p})={\vec{y}}_f(\alpha \vec{p})$ и ${\vec{x}}_h(\vec{p})={\vec{x}}_h(\alpha \vec{p}),$ а следовательно $z(\vec{p})=z(\alpha \vec{p})$.

Тогда мы можем перейти к относительным ценам $\tilde{p}=\vec{p}/{\sum }_g{p}_g$. Множество допустимых векторов относительных цен ($S=\{\tilde{p}\in R_{+}^m:{\sum }_g{p}_g=1\}$) является непустым, замкнутым, ограниченным и выпуклым.

Определим оператор эволюции относительных цен как $${\tilde{p}}^{\prime }=T(\tilde{p}):{\tilde{p}}_g^{\prime }=\frac{{\tilde{p}}_g+{\beta }_g{z}_g(\tilde{p})}{1+{\sum }_k{\beta }_k{z}_k(\tilde{p})},$$ т.е. избыточный спрос толкает цену вверх, избыточное предложение — вниз, а ${\beta }_g>0$ — чувствительность цены. Легко видеть, что он является непрерывным отображением множества векторов относительных цен на самоё себя.

Согласно теореме Брауэра о неподвижной точке, непрерывное отображение непустого, замкнутого, ограниченного и выпуклого множества в себя имеет неподвижную точку: $\exists {\tilde{p}}^{\ast }:{\tilde{p}}^{\ast }=T({\tilde{p}}^{\ast })$.

Покажем, что эта неподвижная точка ${\tilde{p}}^{\ast }$ соответствует рыночному равновесию.

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{p}}_g^{\ast }=\frac{{\tilde{p}}_g^{\ast }+{\beta }_g{z}_g({\tilde{p}}^{\ast })}{1+{\sum }_k{\beta }_k{z}_k({\tilde{p}}^{\ast })}\\ & {\tilde{p}}_g^{\ast }\left(1+\sum _k{\beta }_k{z}_k({\tilde{p}}^{\ast })\right)={\tilde{p}}_g^{\ast }+{\beta }_g{z}_g({\tilde{p}}^{\ast })\\ & {\tilde{p}}_g^{\ast }\sum _k{\beta }_k{z}_k({\tilde{p}}^{\ast })={\beta }_g{z}_g({\tilde{p}}^{\ast })\\ & {\tilde{p}}_g^{\ast }{z}_g({\tilde{p}}^{\ast })\sum _k{\beta }_k{z}_k({\tilde{p}}^{\ast })=z_g^2({\tilde{p}}^{\ast }){\beta }_g\\ & \sum _g{\tilde{p}}_g^{\ast }{z}_g({\tilde{p}}^{\ast })\sum _k{\beta }_k{z}_k({\tilde{p}}^{\ast })=\sum _g{z}_g^2({\tilde{p}}^{\ast }){\beta }_g\\ & {\tilde{p}}^{\ast }z({\tilde{p}}^{\ast })\sum _k{\beta }_k{z}_k({\tilde{p}}^{\ast })=\sum _g{z}_g^2({\tilde{p}}^{\ast }){\beta }_g\end{array}$$

При этом $\forall \vec{p}\vec{p}z(\vec{p})=0$: $$\begin{array}{rl}\vec{p}z(\vec{p})& =\vec{p}\left(\sum _h{\vec{x}}_h-\sum _f{\vec{y}}_f\right)\\ & =\sum _h\vec{p}{\vec{x}}_h-\sum _f\vec{p}{\vec{y}}_f\\ & =\sum _h\vec{p}{\vec{x}}_h-\sum _h\sum _f{s}_{hf}\vec{p}{\vec{y}}_f\\ & =\sum _h\left(\vec{p}{\vec{x}}_h-\sum _f{s}_{hf}\vec{p}{\vec{y}}_f\right)\\ & =\sum _h\underset{0}{\underbrace{\vec{p}{\vec{x}}_h-w_h}}\\ & =0.\end{array}$$

Тогда $$\sum _g{z}_g^2({\tilde{p}}^{\ast }){\beta }_g=0,$$ но $\forall m{\beta }_g>0\Rightarrow \forall m{z}_g({\tilde{p}}^{\ast })=0$.

Таким образом неподвижная точка ${\tilde{p}}^{\ast }$ соответствует нулевому избыточному спросу т.е. равновесию спроса и предложения. В абсолютных ценах эта точка соответствует лучу ${\vec{p}}^{\ast }=\alpha \tilde{p},\alpha >0$.

Достижимость

Выше мы получили, что, при сделанных допущениях, равновесие спроса и предложения существует (не обязательно единственное) и оно Парето-оптимально. Осталось установить, что рыночная экономика в состоянии достичь этого равновесия.

Предположим, что все экономические параметры кроме цен и связанных с ними планов производства и потребления постоянны, а цена каждого блага изменяется во времени как $$\frac{d{p}_g}{dt}={\beta }_g{z}_g(\vec{p})$$ (относительные цены нам более не нужны).

Покажем что со временем $\vec{p}\to {\vec{p}}^{\ast }$, где ${\vec{p}}^{\ast }$ — одна из возможных точек равновесия.

$$\frac{d||\vec{p}(t)-{\vec{p}}^{\ast }||}{dt}=\frac{d(\frac{1}{2}{\sum }_g(p_g(t)-p_g^{\ast }{)}^2)}{dt}=\sum _g(p_g(t)-p_g^{\ast })\frac{d{p}_g}{dt}$$
$$=\sum _g(p_g(t)-p_g^{\ast }){\beta }_g{z}_g$$

Но если $p_g^{\ast }$ — равновесная цена, то $$\{\begin{array}{l}{p}_g>p_g^{\ast }\text{при }{z}_g<0,\\ p_g<p_g^{\ast }\text{при }{z}_g>0,\\ p_g=p_g^{\ast }\text{при }{z}_g=0.\end{array}$$

Отсюда $$\frac{d||\vec{p}(t)-{\vec{p}}^{\ast }||}{dt}<0\text{при }\vec{p}\ne {\vec{p}}^{\ast }$$ и $$\frac{d||\vec{p}(t)-{\vec{p}}^{\ast }||}{dt}=0\text{при }\vec{p}={\vec{p}}^{\ast }.$$

Т.е. $\vec{p}(t)$ монотонно сходится к ${\vec{p}}^{\ast }$ для любого начального ${\vec{p}}_0$.

Таким образом мы показали, что, при заданных допущениях, рыночная экономика приходит к Парето-оптимальному распределению благ из любого начального состояния. Разбору экономически-существенных допущений, которые не позволяют нерегулируемой рыночной экономике такого распределения достичь, посвящена следующая заметка i Рыночек не порешает Помимо отрицателей рыночной экономики, есть ещё и обширная категория последователей культа Свободного Рынка: отмените всё регулирование, рыночек сам всё порешает. Нет, не порешает. Математически доказанная эффективность рыночной экономики — это следствие ряда условий, обеспечить которые, в ряде ситуаций, по меньшей мере нетривиально, если вообще возможно. Также, свободный рынок способен лишь к локальной оптимизации экономики, а найденные им равновесия могут быть «плохими» — приводить к стагнации или хрупкости экономики (пусть и при максимально эффективном использовании имеющихся ресурсов) или просто не соответствовать представлениям о справедливом распределении. Таким образом, регулирование рынка и перераспределение ресурсов внерыночными методами — необходимо — чтобы (а) создавать необходимые условия для функционирования рынка, (б) направлять развитие экономики в нужную сторону, (в) компенсировать ошибки экономических агентов и рыночного механизма в целом. Почему при всём при этом мы не можем отказаться от рыночной экономики? Потому что у нас нет альтернатив, для которых обеспечение максимальной эффективности (субъективной, выраженной индивидуальными функциями полезности) распределения ресурсов, было бы доказанным в условиях, создаваемых с меньшим объёмом внешних вмешательств. .