Полезно решать дифференциальные уравнения: Тома Пикетти

Тома Пикетти в своей книге «Капитал в XXI веке» утверждает, что основной причиной роста социального неравенства является превышение отдачи на капитал ($r$) над скоростью роста экономики ($g$). Скажу сразу, что книгу я не читал и, возможно, в ней содержится много полезного и интересного, однако исходное её положение категорически неверно. Посчитаем.

Для простоты будем считать что экономический рост остановился, выпуск экономических благ ($Y$) постоянен, и $g=0$.

Разделим нашу популяцию на «капиталистов» (индекс $c$) и «пролетариев» ($p$). Как выглядит динамика капитала тех и других?

$$\begin{gathered} \frac{d{C}_c}{dt}=s_c\alpha Y-\delta C_c \\ \frac{d{C}_p}{dt}=s_p(1-\alpha )Y-\delta C_p \end{gathered}$$

Как это понимать? Капиталисты и пролетарии делят между собою произведённые экономические блага. Капиталисты получают долю размером $\alpha Y$, а пролетариям, соответственно, остаётся $(1-\alpha )Y$, где $0<\alpha <1$. В единицу времени $dt$ капитал $C_i$ прирастает на сбережённую часть доcтавшихся благ $s_i$ (часть благ расходуется, поэтому $s_i<1$), но доля капитала $\delta$ утрачивается из-за износа, морального устаревания и пр.

Коэффициент $r$ по Пикетти будет выражаться как $(\alpha Y-\delta C_c)/C_c$. В ноль он обратиться не может т.к. в этом случае размер капитала у капиталистов сократится до нуля (потому что $\delta C_c$ окажется больше $s_c\alpha Y$ и капитал начнёт съедать сам себя пока не кончится). Т.е. условие $r>g$ в нашей модели всегда выполняется.

Посмотрим, как будет изменяться размер капитала у капиталистов и пролетариев с течением времени. Бо́льшую часть возникающих в жизни дифуров замечательно решает WolframAlpha:

$$\begin{gathered} C_c(t)=\frac{s_c\alpha Y}{\delta }+C_c^{(0)}{\mathrm{e}}^{-\delta t}, \\ {C}_p(t)=\frac{s_p(1-\alpha )Y}{\delta }+C_p^{(0)}{\mathrm{e}}^{-\delta t}. \end{gathered}$$

Здесь $C_{c,p}^{(0)}$ — размер капитала у капиталистов и пролетариев в начальный момент времени.

Рост социального неравенства означает рост отношения $C_c/C_p$ с течением времени. Посмотрим на этот процесс в пределе, при $t\to \infty$.

Очевидно, что экспоненциальный член обратится в нуль, а $\delta$ и $Y$ сократятся. Имеем

$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{C_c}{C_p}=\frac{s_c}{s_p}\cdot \frac{\alpha }{1-\alpha }.$$

Таким образом, предельный уровень социального неравенства определяется лишь неравенством в распределении производимых благ и различием в нормах сбережения. И ни о каком влиянии коэффициента $r$ или его отношения к $g$ не может идти и речи, это математическая истина (любопытный читатель может добавить в систему уравнение для роста экономики $dY/dt=g$, чтобы убедиться, что и в этом случае предел остаётся тот же).

Т.е. если рост социального неравенства имеет место быть, его надо искать в другом месте.

В чём фундаментальная ошибка Пикетти? Её легко увидеть, если записать выражение для доли благ, «присваиваемых» капиталистами:

$$\alpha =\frac{(r+\delta )C_c}{Y}.$$

Отсюда очень легко придти к очевидному (и неверному!) выводу о том, что когда $C_c$ растёт быстрее $Y$, $\alpha$ устремляется в бесконечность и капиталисты буквально выжирают всю экономику. Достаточно забыть о том, что капитал требует расходов на содержание и возобновление тем больше, чем больше этот самый капитал (и о том, что не весь полученный доход реинвестируется, но это несущественная деталь).

Интересно, что модель позволяет записать выражение для предельной отдачи на капитал (которая падает с ростом доли сбережений): $$r_{\infty }=\delta \frac{1-s_c}{s_c},$$ но не позволяет найти предельную долю присваиваемых благ ${\alpha }_{\infty }$, это свободный параметр системы, для которого нужна другая модель.