Полезно решать дифференциальные уравнения: Тома Пикетти

Очень простое математическое опровержение основной идеи «Капитала в XXI веке», что превышение доходности капитала над скоростью роста экономики является причиной роста социального неравенства.

Обновлено:

Тома Пикетти в своей книге «Капитал в XXI веке» утверждает, что основной причиной роста социального неравенства является превышение отдачи на капитал () над скоростью роста экономики (). Скажу сразу, что книгу я не читал и, возможно, в ней содержится много полезного и интересного, однако исходное её положение категорически неверно. Посчитаем.

Для простоты будем считать что экономический рост остановился, выпуск экономических благ () постоянен, и .

Разделим нашу популяцию на «капиталистов» (индекс ) и «пролетариев» (). Как выглядит динамика капитала тех и других?

Как это понимать? Капиталисты и пролетарии делят между собою произведённые экономические блага. Капиталисты получают долю размером , а пролетариям, соответственно, остаётся , где . В единицу времени капитал прирастает на сбережённую часть доcтавшихся благ (часть благ расходуется, поэтому ), но доля капитала утрачивается из-за износа, морального устаревания и пр.

Коэффициент по Пикетти будет выражаться как . В ноль он обратиться не может т.к. в этом случае размер капитала у капиталистов сократится до нуля (потому что окажется больше и капитал начнёт съедать сам себя пока не кончится). Т.е. условие в нашей модели всегда выполняется.

Посмотрим, как будет изменяться размер капитала у капиталистов и пролетариев с течением времени. Бо́льшую часть возникающих в жизни дифуров замечательно решает WolframAlpha:

Здесь — размер капитала у капиталистов и пролетариев в начальный момент времени.

Рост социального неравенства означает рост отношения с течением времени. Посмотрим на этот процесс в пределе, при .

Очевидно, что экспоненциальный член обратится в нуль, а и сократятся. Имеем

Таким образом, предельный уровень социального неравенства определяется лишь неравенством в распределении производимых благ и различием в нормах сбережения. И ни о каком влиянии коэффициента или его отношения к не может идти и речи, это математическая истина (любопытный читатель может добавить в систему уравнение для роста экономики , чтобы убедиться, что и в этом случае предел остаётся тот же).

Т.е. если рост социального неравенства имеет место быть, его надо искать в другом месте.

В чём фундаментальная ошибка Пикетти? Её легко увидеть, если записать выражение для доли благ, «присваиваемых» капиталистами:

Отсюда очень легко придти к очевидному (и неверному!) выводу о том, что когда растёт быстрее , устремляется в бесконечность и капиталисты буквально выжирают всю экономику. Достаточно забыть о том, что капитал требует расходов на содержание и возобновление тем больше, чем больше этот самый капитал (и о том, что не весь полученный доход реинвестируется, но это несущественная деталь).

Интересно, что модель позволяет записать выражение для предельной отдачи на капитал (которая падает с ростом доли сбережений): но не позволяет найти предельную долю присваиваемых благ , это свободный параметр системы, для которого нужна другая модель.