Бонус за не-ребалансировку (физмат-этюд)

Бонус за ребалансировку i Бонус за ребалансировку и потери на волатильности (физмат-этюд) Получаем выражение для величины бонуса за ребалансировку, и заодно понимаем, что бонуса как такового не существует, просто нелинейные зависимости — нелинейны. Аналогичное быстро проделываем с «потерями на волатильности», которые и вовсе порождены использованием неправильного представления доходностей. часто понимается неправильно — как дополнительная доходность портфеля по сравнению с отсутствием ребалансировки. На самом деле — это дополнительная доходность по сравнению с непрерывной ребалансировкой, когда веса активов всегда соответствуют целевым и любые отклонения ребалансируются мгновенно. В этой заметке сделаем теоретическую оценку бонуса за отсутствие ребалансировки по сравнению с непрерывно ребалансируемым портфелем и оценим, в каких условиях периодическая ребалансировка выгоднее её отсутствия.

Итак, у нас есть два актива A и B с рядами доходностей $R_i^A$ и $R_i^B$ на последовательности интервалов ребалансировки (которой в данном случае не будет, но мы сравниваем доходность с ребалансируемым портфелем), и начальными весами $w_A$ и $w_B=(1-w_A)$. При отсутствии ребалансировки портфель растёт как $\left(w_A{\prod }_{i=1}^N{R}_i^A+w_B{\prod }_{i=1}^N{R}_i^B\right)$, а ср.-геом. доходность портфеля к концу $N$-го интервала выглядит таким образом:

$$R_N^P=\sqrt[N]{w_A\prod _{i=1}^N{R}_i^A+w_B\prod _{i=1}^N{R}_i^B}$$

Перейдём для простоты к логарифмическим доходностям ($r_i=\ln R_i$):

$$\begin{gathered} r_N^P=\frac{1}{N}\ln \left(w_A\prod _{i=1}^N{\mathrm{e}}^{r_i^A}+w_B\prod _{i=1}^N{\mathrm{e}}^{r_i^B}\right) \\ =\frac{1}{N}\ln \left(w_A{\mathrm{e}}^{{\sum }_{i=1}^N{r}_i^A}+w_B{\mathrm{e}}^{{\sum }_{i=1}^N{r}_i^B}\right) \\ =\frac{1}{N}\ln \left(w_A{\mathrm{e}}^{N{\bar{r}}_A}+w_B{\mathrm{e}}^{N{\bar{r}}_B}\right), \end{gathered}$$ где $\bar{r}$ — средние доходности активов за рассматриваемый период.

Избавимся от логарима и экспонент, разложив это выражение в ряд Тейлора 2-й степени (великолепная Wolfram Mathematica в облачной версии доступна бесплатно):

$$r_N^P\approx w_A{\bar{r}}_A+w_B{\bar{r}}_B+N\frac{w_A{w}_B}{2}({\bar{r}}_A^2-2{\bar{r}}_A{\bar{r}}_B+{\bar{r}}_B^2).$$

В первом слагаемом видим взвешенную сумму средних доходностей, а второе — и есть искомый «бонус за не-ребалансировку»:

$$\hat{b}=N\frac{w_A{w}_B}{2}({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2.$$

Напомню как выглядит бонус за ребалансировку из предыдущей заметки i Бонус за ребалансировку и потери на волатильности (физмат-этюд) Получаем выражение для величины бонуса за ребалансировку, и заодно понимаем, что бонуса как такового не существует, просто нелинейные зависимости — нелинейны. Аналогичное быстро проделываем с «потерями на волатильности», которые и вовсе порождены использованием неправильного представления доходностей. :

$$\begin{gathered} b=\frac{w_A{w}_B}{2}({\bar{r}}_A^2+{\sigma }_A^2-2({\bar{r}}_A{\bar{r}}_B+{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB})+{\bar{r}}_B^2+{\sigma }_B^2) \\ =\frac{w_A{w}_B}{2}({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2+\frac{w_A{w}_B}{2}({\sigma }_A^2-2{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB}+{\sigma }_B^2), \end{gathered}$$ где $\sigma$ — СКО, а ${\rho }_{AB}$ — коэфф. корреляции доходностей на интервалах ребалансировки числом $N$.

Тогда имеем следующее выражение для бонуса за периодическую ребалансировку по сравнению с её отсутствием:

$$b-\hat{b}=\frac{w_A{w}_B}{2}((1-N)({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2+({\sigma }_A^2-2{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB}+{\sigma }_B^2))$$

И

$$b-\hat{b}>0\mathrm{к}\mathrm{о}\mathrm{г}\mathrm{д}\mathrm{а}({\sigma }_A^2-2{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB}+{\sigma }_B^2)>(N-1)({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2.$$

Важно помнить, что при значениях в правой части неравенства больше примерно 0.1 аппроксимация рядом Тейлора существенно теряет в точности, поэтому оценку надо ограничивать соответствующим значением N (иначе получалось бы, что если имеется хоть какая-то разница в доходностях активов, то ребалансировку проводить невыгодно, потому что будет существовать N, при котором неравенство нарушается).

Также важно помнить, что во всех выражениях фигурируют реализованные доходности и их статистические характеристики. Разбор выгодности ребалансировки в условиях неопределённости характеристик активов сделаем позднее.

P.S. Из выражения для выгодности ребалансировки можно «на глаз» сделать следующее заключение. Разброс реализованных ср-геом. доходностей отдельных акций огромен по сравнению с их СКO, поэтому указанное неравенство практически никогда не будет выполняться и ребалансировка между отдельными акциями не имеет смысла.