Бонус за ребалансировку и потери на волатильности (физмат-этюд)

Получаем выражение для величины бонуса за ребалансировку, и заодно понимаем, что бонуса как такового не существует, просто нелинейные зависимости — нелинейны. Аналогичное быстро проделываем с «потерями на волатильности», которые и вовсе порождены использованием неправильного представления доходностей.

Опубликовано: 2021-08-24

Находится в:

Заметки о финансах/Инвестиционный портфель

Используется в:

Портфельный эффект и гримасы корреляции Портфельный эффект и гримасы корреляции Почему не стоит полагаться на корреляции при выборе активов в портфель. И на доходности тоже.

Бонус за ребалансировку

Бытует мнение, что ребалансировка портфеля — это ставка на «возврат к среднему», а премия за ребалансировку — доходность портфеля сверх средневзвешенной доходностей его активов — получается только при реализации этого возврата к среднему, в противном же случае премия превращается в «штраф за ребалансировку». Развеем это несостоятельное суждение.

Пожалуй, впервые оценку бонуса за ребалансировку сделал Уильям Бернстайн, однако в своей работе он занимается конструированием этой оценки из наблюдений за эмпирическими данными, поэтому природа явления остаётся непонятной (отсюда и странные мнения). Я же приведу вывод приближённой формулы для этого бонуса прямо из выражения для ср.-геом. доходности.

Начнём с того, что в портфеле без ребалансировки стоимости активов изменяются независимо друг от друга, и аллокация дрейфует в сторону актива с наибольшей доходностью в последние периоды. Поэтому о каком-то портфеле с известной структурой тут говорить не приходится. Понятно, что с течением времени его ср.-геом. доходность будет стремиться к таковой у самого доходного актива (т.к. его доля в портфеле будет стремиться к 100%), т.е. тут тоже можно будет говорить о «бонусе», однако мы займёмся другим вопросом. А именно — как из двух активов с отрицательной доходностью получается портфель с положительной.

Итак, у нас есть два актива A и B с рядами доходностей $R_{i}^{A}$ и $R_{i}^{B}$ на последовательности интервалов ребалансировки, и весами $w_{A}$ и $w_{B} = (1 - w_{A})$ , к которым приводится вложенный в них капитал в конце каждого интервала. Таким образом внутри интервала портфель растёт как $w_{A} R_{i}^{A} + w_{B} R_{i}^{B}$ , а ср.-геом. доходность портфеля к концу $N$ -го интервала выглядит таким образом:

$R_{N}^{P} = N i = 1 \prod N (w_{A} R_{i}^{A} + w_{B} R_{i}^{B})$

Страшно, одним словом, выглядит: произведения, корни... Чтобы было не так страшно, перейдём к логарифмическим доходностям $r_{i} = ln R_{i}$ .

$r_{N}^{P} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N ln (w_{A} e^{r_{i}^{A}} + w_{B} e^{r_{i}^{B}})$

Т.к. логарифмические доходности невелики, избавимся сразу и от экспонент, разложив их в ряд Тейлора, $e^{x} = 1 + x + x^{2} / 2 + \dots$ Если мы не занимаемся криптой, не держим фонды с тройным плечом, и ребалансируемся хотя бы раз в год, то первых трёх членов нам более чем достаточно.

$r_{N}^{P} \approx \frac{1}{N} i = 1 \sum N ln (w_{A} (1 + r_{i}^{A} + r_{i}^{A}^{2} / 2) + w_{B} (1 + r_{i}^{B} + r_{i}^{B}^{2} / 2))$

$w_{A} + w_{B} = 1$ , поэтому

$r_{N}^{P} \approx \frac{1}{N} i = 1 \sum N ln (w_{A} (r_{i}^{A} + r_{i}^{A}^{2} / 2) + w_{B} (r_{i}^{B} + r_{i}^{B}^{2} / 2) + 1)$

Теперь избавимся от логарифма, также разложив его в ряд Тейлора, $ln (x + 1) = x - x^{2} / 2 + \dots$ :

$r_{N}^{P} \approx \frac{1}{N} i = 1 \sum N ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ (w_{A} (r_{i}^{A} + r_{i}^{A}^{2} / 2) + w_{B} (r_{i}^{B} + r_{i}^{B}^{2} / 2)) - \frac{( w _{A} ( r _{i}^{A} + r _{i}^{A} ^{2} / 2 ) + w _{B} ( r _{i}^{B} + r _{i}^{B} ^{2} / 2 ) ) ^{2}}{2} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = = \frac{1}{N} i = 1 \sum N (w_{A} r_{i}^{A} + w_{B} r_{i}^{B}) + \frac{1}{N} i = 1 \sum N ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ \frac{r _{i}^{A} ^{2} + r _{i}^{B} ^{2}}{2} - \frac{( w _{A} ( r _{i}^{A} + r _{i}^{A} ^{2} / 2 ) + w _{B} ( r _{i}^{B} + r _{i}^{B} ^{2} / 2 ) ) ^{2}}{2} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞$

В первом слагаемом мы видим взвешенную сумму средних доходностей активов

$\frac{1}{N} i = 1 \sum N (w_{A} r_{i}^{A} + w_{B} r_{i}^{B}) = w_{A} \frac{1}{N} i = 1 \sum N r_{i}^{A} + w_{B} \frac{1}{N} i = 1 \sum N r_{i}^{B} = w_{A} \overset{r}{ˉ}_{A} + w_{B} \overset{r}{ˉ}_{B},$

значит второе — и есть наша премия за ребалансировку» ( $b$ ) в первом приближении. Нам нужно её выразить также через средние доходности. Для начала раскроем скобки и выкинем все слагаемые выше второй степени от $r$ (число это сильно меньше 1, высокие степени мало что добавят).

$b = \frac{1}{N} i = 1 \sum N ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ \frac{r _{i}^{A} ^{2} + r _{i}^{B} ^{2}}{2} - \frac{( w _{A} ( r _{i}^{A} + r _{i}^{A} ^{2} / 2 ) + w _{B} ( r _{i}^{B} + r _{i}^{B} ^{2} / 2 ) ) ^{2}}{2} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = = \frac{1}{2 N} i = 1 \sum N (r_{i}^{A}^{2} + r_{i}^{B}^{2} - (w_{A} r_{i}^{A})^{2} - 2 w_{A} r_{i}^{A} w_{B} r_{i}^{B} - (w_{B} r_{i}^{B})^{2}) = = \frac{1}{2 N} i = 1 \sum N (w_{A} r_{i}^{A}^{2} (1 - w_{A}) + w_{B} r_{i}^{B}^{2} (1 - w_{B}) - 2 w_{A} r_{i}^{A} w_{B} r_{i}^{B})$

Т.к. $1 - w_{A} = w_{B}, 1 - w_{B} = w_{A}$

$b = \frac{w _{A} w _{B}}{2 N} i = 1 \sum N (r_{i}^{A}^{2} - 2 r_{i}^{A} r_{i}^{B} + r_{i}^{B}^{2}) = = \frac{w _{A} w _{B}}{2} (i = 1 \sum N \frac{r _{i}^{A} ^{2}}{N} - 2 i = 1 \sum N \frac{r _{i}^{A} r _{i}^{B}}{N} + i = 1 \sum N \frac{r _{i}^{B} ^{2}}{N})$

Видим средние значения произведений доходностей активов. Здесь надо предположить, что доходности распределены более-менее нормально (не такая большая ошибка, если интервал между ребалансировками больше нескольких месяцев), тогда $\sum_{i = 1}^{N} (r_{i}^{A} r_{i}^{B}) / N \approx \overset{r}{ˉ}_{A} \overset{r}{ˉ}_{B} + σ_{A} σ_{B} ρ_{A B}$ , где $σ$ — СКО доходностей, $ρ_{A B}$ — коэфф. корреляции доходностей.

В итоге, имеем следующее (очень красивое, по-моему) выражение для премии:

$b_{A, B} = \frac{w _{A} w _{B}}{2} (\overset{r}{ˉ}_{A}^{2} + σ_{A}^{2} - 2 (\overset{r}{ˉ}_{A} \overset{r}{ˉ}_{B} + σ_{A} σ_{B} ρ_{A B}) + \overset{r}{ˉ}_{B}^{2} + σ_{B}^{2})$

Таким образом, бонус за ребалансировку не является ни ставкой на возврат к среднему, ни даже игрой на волатильности инструментов (бонус за ребалансировку ненулевой даже если СКО доходностей нулевые, лишь бы сами доходности различались), а естественным свойством последовательности доходностей. Я бы даже сказал, что бонуса за ребалансировку не существует, просто мы привыкли мыслить линейно и удивляемся отклонениям от линейности в естественно-нелинейном мире.

Потери на волатильности

Явлением того же сорта являются и «потери на волатильности» (volatility tax или drag), которые даже возникают точно так же — из разложения того же логарифма в ряд Тейлора, только для единичного актива.

Начнём со ср.-геом. доходности:

$R_{N} = exp (i = 1 \sum N \frac{ln R _{i}}{N})$

Представим доходность на $i$ -м интервале как $R_{i} = \overset{ˉ}{R} + ε_{i}$ — ср.-арифм. доходность и отклонение от неё (ожидаемое отклонение = 0).

$i = 1 \sum N \frac{ln R _{i}}{N} = i = 1 \sum N \frac{ln ( R ˉ + ε _{i} )}{N} \approx \frac{1}{N} i = 1 \sum N (ln \overset{ˉ}{R} + \frac{ε _{i}}{R ˉ} - \frac{ε _{i}^{2}}{2 R ˉ ^{2}}) = = ln \overset{ˉ}{R} + 0 - \frac{1}{2 R ˉ} i = 1 \sum N \frac{ε _{i}^{2}}{N} \approx ln \overset{ˉ}{R} - \frac{V a r ( ε _{i} )}{2 R ˉ} = = ln \overset{ˉ}{R} - \frac{V a r ( R ˉ + ε _{i} )}{2 R ˉ} = ln \overset{ˉ}{R} - \frac{V a r ( R )}{2 R ˉ} = ln \overset{ˉ}{R} - \frac{1}{R ˉ} \frac{σ _{R}^{2}}{2}$

Возвращаемся к ср.-геом. доходности:

$R_{N} = exp (i = 1 \sum N \frac{ln R _{i}}{N}) = exp (ln \overset{ˉ}{R} - \frac{1}{R ˉ} \frac{σ _{R}^{2}}{2}) = e^{l n \overset{ˉ}{R}} exp (- \frac{1}{R ˉ} \frac{σ _{R}^{2}}{2}) \approx \approx \overset{ˉ}{R} (1 - \frac{σ _{R}^{2}}{2 R ˉ}) = \overset{ˉ}{R} - \frac{σ _{R}^{2}}{2} .$

Работай мы сразу с логарифмическими доходностями, никакой этой катавасии не было бы:

$R_{N} = exp (i = 1 \sum N \frac{ln R _{i}}{N}) = exp (i = 1 \sum N \frac{r _{i}}{N}) = e^{\overset{r}{ˉ}} .$

Volatility drag не существует — это артефакт, вызванный желанием использовать неподходящее для задачи представление доходностей.

Категории:Математика Портфель

↑ Заметки о финансах/Инвестиционный портфель ↑