Ребалансировка между активами с неопределённой будущей доходностью (физмат-этюд)

В предыдущей заметке i Бонус за не-ребалансировку (физмат-этюд) Оцениваем ожидаемую доходность портфеля без ребалансировки и условия, при которых периодическая ребалансировка выгоднее отсутствия оной. мы вывели формулу для оценки бонуса за периодическую ребалансировку по сравнению с отсутствием оной: $$\tilde{b}=\frac{w_A{w}_B}{2}(({\sigma }_A^2-2{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB}+{\sigma }_B^2)-(N-1)({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2),$$ где $w_A$ и $w_B$ — веса активов в портфеле, ${\bar{r}}_A$ и ${\bar{r}}_B$ — средние значения логарифмов их доходностей на интервалах ребалансировки, ${\sigma }_A$ и ${\sigma }_B$ — СКО логарифмов доходностей, а ${\rho }_{AB}$ — коэфф. корреляции на тех же интервалах; $N$ — количество рассматриваемых интервалов, при этом $(N-1)({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2$ должно быть меньше 0.1 для сохранения точности аппроксимации.

Я сразу «на глаз» заключил о бессмысленности ребалансировки между отдельными акциями, т.к. из-за большой разницы в реализованных доходностях «бонус за волатильность» $b_v={\sigma }_A^2-2{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB}+{\sigma }_B^2$ едва ли покроет потери из-за ребалансировки в менее доходную акцию.

Тем не менее, формула говорит о перспективности ребалансировки между активами с одинаковой средней доходностью: потерь от ребалансировки в менее доходный актив нет, а бонус за волатильность всегда положительный. Однако имеем одну проблему: в формуле фигурируют реализованные доходности, волатильности и корреляция, а знать их наперёд мы не можем. Тем не менее, мы можем продвинуться вперёд, оценив распределение ожидаемых значений этого бонуса, «подставив» в формулу вместо реализованных значений оценки для их распределения.

Для простоты, я буду полагать неизвестными лишь будущие доходности. Волатильности и корреляции периодических доходностей, всё-таки, менее изменчивы, особенно когда мы говорим об активах внутри одного класса, а меня здесь в первую очередь интересует перспективность ребалансировки между регионами и отраслями.

Даже в этом случае выкладки обещают быть громоздкими, поэтому приведём исходное выражение в более компактный вид: $$\tilde{b}=p{b}_v-p{N}_r({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B{)}^2,$$ где $p=w_A{w}_B/2$, $b_v={\sigma }_A^2-2{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{AB}+{\sigma }_B^2$, $N_r=N-1$.

Итак, нам нужно найти закон распределения случайной величины $\tilde{b}$, зная законы распределения случайных величин ${\bar{r}}_A$ и ${\bar{r}}_B$. Для этого понадобятся следующие преобразования: $$\begin{gathered} f_{A-B}(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_A(y)f_B(y-x)dy \\ {f}_{A^2}(x)=\frac{f_A(\sqrt{x})+f_A(-\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \\ {f}_{a-bA}(x)=\frac{1}{|b|}{f}_A\left(\frac{a-x}{b}\right), \end{gathered}$$ где $f_A(x)$ — функция распределения случайной величины $A$.

Применив их последовательно к выражению для $\tilde{b}$ получим $$f_{\tilde{b}}(x)=\frac{1}{2\sqrt{p{N}_r(p{b}_v-x)}}{\int }_{-\infty }^{\infty }\left(f_{{\bar{r}}_A}\left(y\right)f_{{\bar{r}}_B}(y-\sqrt{\frac{p{b}_v-x}{p{N}_r}})+f_{{\bar{r}}_A}\left(y\right)f_{{\bar{r}}_B}(y+\sqrt{\frac{p{b}_v-x}{p{N}_r}})\right)dy.$$

Если интеграл аналитически не берётся, его можно заменить численным приближением.

Я, для простоты, буду предполагать, что ${\bar{r}}_A$ и ${\bar{r}}_B$ распределены по нормальному закону (для годовых ребалансировок это не будет сильным отступлением от истины): $$f_{\bar{r}}(x)=\frac{1}{\varsigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-\bar{r}{)}^2}{2{\varsigma }^2}\right),$$ здесь я использую другой символ для СКО, чтобы отличить СКО периодических доходностей в $b_v$ от СКО долгосрочных средних доходностей.

Тогда получим следующую функцию распределения $\tilde{b}$: $$f_{\tilde{b}}(x)=\frac{\exp \left(-\frac{{\left({\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B+\sqrt{(p{b}_v-x)/(p{N}_r)}\right)}^2}{2({\varsigma }_A^2+{\varsigma }_B^2)}\right)+\exp \left(-\frac{{\left({\bar{r}}_B-{\bar{r}}_A+\sqrt{(p{b}_v-x)/(p{N}_r)}\right)}^2}{2({\varsigma }_A^2+{\varsigma }_B^2)}\right)}{2\sqrt{p{N}_r(p{b}_v-x)}\sqrt{2\pi ({\varsigma }_A^2+{\varsigma }_B^2)}}$$

А кумулятивная функция распределения ($F(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(x)dx$; её проще анализировать на графике) будет выглядеть следующим образом: $$F_{\tilde{b}}(t)=\frac{1}{2}\left(\text{erfc}\left(\frac{{\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B+\sqrt{(p{b}_v-t)/(p{N}_r)}}{\sqrt{2({\varsigma }_A^2+{\varsigma }_B^2)}}\right)+\text{erfc}\left(\frac{{\bar{r}}_B-{\bar{r}}_A+\sqrt{(p{b}_v-t)/(p{N}_r)}}{\sqrt{2({\varsigma }_A^2+{\varsigma }_B^2)}}\right)\right),$$ где $\text{erfc}$ — дополнительная функция ошибок, $\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_x^{\infty }{\text{e}}^{-t^2}dt$.

Рассмотрим экономическую целесообразность ребалансировки между двумя SnP500-подобными активами: $\bar{r}\approx 0.057,\sigma \approx 0.187,\varsigma \approx 0.05\text{при}N=10$ с $\rho =0.85$. Очевидно, бонус за ребалансировку между подобными активами максимален при равном взвешивании. Получим следующую кумулятивную функцию распределения, которая говорит, что в 60% случаев ребалансировка будет приводить к потерям в доходности (величины доходности и бонуса — логарифмические, однако при малых значениях можно читать, что если $\ln (r)=0.01$, то $r\approx 1$%г):

При этом максимальное значение бонуса, очевидно, ограничено величиной «бонуса за волатильность» $w_A{w}_B{b}_v/2\approx 0.13$%г.

Ещё несколько графиков с варьированием параметров, здесь всё очень предсказуемо.

Бонус растёт с уменьшением корреляции между активами, и с ростом их волатильности (СКО доходностей на интервале ребалансировки), также увеличивается вероятность его положительного значения. Впрочем, переоценивать величину эффекта не стоит.

А вероятность положительного результат растёт с уменьшением разницы в ожидаемых доходностях активов и уменьшением неопределённости ожидаемых доходностей.