Бонус за ребалансировку и потери на волатильности (физмат-этюд)

Получаем выражение для величины бонуса за ребалансировку, и заодно понимаем, что бонуса как такового не существует, просто нелинейные зависимости — нелинейны. Аналогичное быстро проделываем с «потерями на волатильности», которые и вовсе порождены использованием неправильного представления доходностей.

Обновлено:

Бытует мнение, что ребалансировка портфеля — это ставка на «возврат к среднему», а премия за ребалансировку — доходность портфеля сверх средневзвешенной доходностей его активов — получается только при реализации этого возврата к среднему, в противном же случае премия превращается в «штраф за ребалансировку». Развеем это несостоятельное суждение.

Пожалуй, впервые оценку бонуса за ребалансировку сделал Уильям Бернстайн, однако в своей работе он занимается конструированием этой оценки из наблюдений за эмпирическими данными, поэтому природа явления остаётся непонятной (отсюда и странные мнения). Я же приведу вывод приближённой формулы для этого бонуса прямо из выражения для ср.-геом. доходности.

Начнём с того, что в портфеле без ребалансировки стоимости активов изменяются независимо друг от друга, и аллокация дрейфует в сторону актива с наибольшей доходностью в последние периоды. Поэтому о каком-то портфеле с известной структурой тут говорить не приходится. Понятно, что с течением времени его ср.-геом. доходность будет стремиться к таковой у самого доходного актива (т.к. его доля в портфеле будет стремиться к 100%), т.е. тут тоже можно будет говорить о «бонусе», однако мы займёмся другим вопросом. А именно — как из двух активов с отрицательной доходностью получается портфель с положительной.

Итак, у нас есть два актива A и B с рядами доходностей и на последовательности интервалов ребалансировки, и весами и , к которым приводится вложенный в них капитал в конце каждого интервала. Таким образом внутри интервала портфель растёт как , а ср.-геом. доходность портфеля к концу -го интервала выглядит таким образом:

Страшно, одним словом, выглядит: произведения, корни... Чтобы было не так страшно, перейдём к логарифмическим доходностям .

Т.к. логарифмические доходности невелики, избавимся сразу и от экспонент, разложив их в ряд Тейлора, Если мы не занимаемся криптой, не держим фонды с тройным плечом, и ребалансируемся хотя бы раз в год, то первых трёх членов нам более чем достаточно.

, поэтому

Теперь избавимся от логарифма, также разложив его в ряд Тейлора, :

В первом слагаемом мы видим взвешенную сумму средних доходностей активов

значит второе — и есть наша премия за ребалансировку» () в первом приближении. Нам нужно её выразить также через средние доходности. Для начала раскроем скобки и выкинем все слагаемые выше второй степени от (число это сильно меньше 1, высокие степени мало что добавят).

Т.к.

Видим средние значения произведений доходностей активов. Здесь надо предположить, что доходности распределены более-менее нормально (не такая большая ошибка, если интервал между ребалансировками больше нескольких месяцев), тогда , где — СКО доходностей, — коэфф. корреляции доходностей.

В итоге, имеем следующее (очень красивое, по-моему) выражение для премии:

Таким образом, бонус за ребалансировку не является ни ставкой на возврат к среднему, ни даже игрой на волатильности инструментов (бонус за ребалансировку ненулевой даже если СКО доходностей нулевые, лишь бы сами доходности различались), а естественным свойством последовательности доходностей. Я бы даже сказал, что бонуса за ребалансировку не существует, просто мы привыкли мыслить линейно и удивляемся отклонениям от линейности в естественно-нелинейном мире.


Явлением того же сорта являются и «потери на волатильности» (volatility tax или drag), которые даже возникают точно так же — из разложения того же логарифма в ряд Тейлора, только для единичного актива.

Начнём со ср.-геом. доходности:

Представим доходность на -м интервале как — ср.-арифм. доходность и отклонение от неё (ожидаемое отклонение = 0).

Возвращаемся к ср.-геом. доходности:

Работай мы сразу с логарифмическими доходностями, никакой этой катавасии не было бы:

Volatility drag не существует — это артефакт, вызванный желанием использовать неподходящее для задачи представление доходностей.