(Не)Математика диверсификации-3: современная теория портфеля

Теория портфеля Гарри Марковица, и почему это лишь математическая иллюстрация. Принципы построения портфеля гораздо проще.

Опубликовано: 2020-04-21

Находится в:

Заметки о финансах/Инвестиционный портфель

Используется в:

Болезненность и полезность/Болезненность/ Болезненность и полезность/Болезненность/
Измеряя рыночный риск Измеряя рыночный риск Проанализировал целых 10 возможных мер рыночного риска, и собрал их в 3 основных его аспекта, которые должны учитываться при определении терпимости к риску и построении оптимального портфеля.
Измеряя рыночный риск/Классическая волатильность — СКО доходностей Измеряя рыночный риск/Классическая волатильность — СКО доходностей
Инвестиционные факторы Инвестиционные факторы Разбираемся с последней модой в области пассивных инвестиций: инвестиционными факторами и smart-beta фондами. Как выясняется, смысла в этом довольно мало.
Инвестиционные факторы/Историческая справка: CAPM, альфа, бета, и факторы Инвестиционные факторы/Историческая справка: CAPM, альфа, бета, и факторы
Криптовалюты/Криптовалюты как актив Криптовалюты/Криптовалюты как актив
О спорных терминах О спорных терминах Бегло прошёлся по любимым темам холиваров в инвестиционных чатиках и форумах, касающихся бессмысленных споров о терминологии

Гарри Марковиц получил свою премию имени Нобеля за удивительную в своей простоте, изяществе и очевидности идею. Пусть у нас есть N активов, доходность каждого из которых распределена по нормальному закону с ожидаемым значением $r_{i}$ и дисперсией (т.е. мерой неопределённости, она же мера риска в этой теории) $σ_{i}^{2}$ . Их доли в портфеле — $w_{i}$ . Тогда доходность портфеля распределена также по нормальному закону с $r_{p} = i \sum w_{i} r_{i} σ_{p}^{2} = i \sum w_{i}^{2} σ_{i}^{2} + i \sum j \neq = i \sum w_{i} w_{j} σ_{i} σ_{j} ρ_{i, j},$ где $ρ_{i, j}$ — корреляция (мера согласованности) доходностей $i$ -го и $j$ -го активов. Это просто математическое свойство дисперсии.

Т.е. с доходностью всё очевидно — это средневзвешенная доходность активов, а вот с неопределённостью интереснее. Она окажется средневзвешенной неопределённостью только в случае идеально согласованных между собою доходностей активов (все $ρ_{i, j} = 1$ ), во всех остальных случаях она будет ниже.

Собственно, ВСЁ.

Дальше мы можем пытаться подобрать веса активов так, чтобы минимизировать риск при заданной доходности, или максимизировать доходность при заданном риске (последовательность таких портфелей лежит на кривой, которая называется эффективной границей, efficient frontier)... Можем искать линию наилучшего размещения капитала (capital allocation line, касательная из точки безрискового актива к эффективной границе), чтобы получить максимально возможную доходность при минимальном риске за счёт использования плеча...

Только вот ничего этого делать не нужно. Потому что эта модель — лишь наглядная иллюстрация, а не описание действительности:

Доходности активов (и их классов тоже) не распределены по нормальному закону. Там вообще дичь с толстыми хвостами, которая ещё и по-разному выглядит на разном временно́м окне. И, конечно же, практически непредсказуема.
Риск для инвестора — это или потеря доходности, или потеря капитала (возможно, временная), или всё вместе, но не дисперсия доходности.
Корреляции доходностей активов не постоянны, не линейны (а коэффициент корреляции здесь именно тот, который учитывает только линейную составляющую зависимости), и не известны наперёд.

Это не значит, что портфельная теория неверна. Это значит, что реальная динамика портфеля гораздо сложнее, чем из неё следует. Один из примеров такой сложности мы видели в предыдущей статье Математика диверсификации-2: доходность и риск Как разное определение финансовых рисков может менять оптимальное для инвестора соотношение активов в портфеле. : доходность портфеля акций почти не снижалась при добавлении золота, а доходность портфеля из облигаций и золота оказалась значительно выше и облигаций, и золота; теория Марковица ни первого, ни второго не позволяет.

Конечно, post-modern portfolio theory научилась работать и с другими мерами риска, и со сложными распределениями доходности (вплоть до альфа-стабильных распределений Леви, где возможно только численное моделирование динамики), но самого главного — причин и момента изменения динамики активов с рассогласованной на согласованную — эта теория, разумеется, предсказать не может.

Поэтому для формировании портфеля, который нас не разочарует, мы должны опираться не на расчёты по моделям с очень узкой областью применимости, а на общие принципы:

Включение в портфель активов со, скажем так, различной характерной динамикой снижает неопределённость в результатах инвестирования. Это очевидно — разнонаправленное движение активов стабилизирует портфель. Но это снижение неопределённости — долгосрочное (и ex-post: будущих корреляций мы не знаем), а в краткосрочном периоде активы могут начать двигаться согласованно. Поэтому...
Риск портфеля, понимаемый как максимальная краткосрочная просадка, больше зависит от волатильности его составляющих, чем от исторической корреляции между ними. Нужно строго ограничить просадку — держите кэш и квазикэш (вклады, облигации с погашением в течение года или фонды на них).

Присутствие в портфеле активов с высокой волатильностью всё-таки позволяет получить дополнительную доходность (сверх средневзвешенной доходности активов) от ребалансировки. Уильям Бернстайн предложил следующую эмпирическую оценку её размера: $b_{p} = \frac{1}{2} i \sum j \neq = i \sum b_{i j} b_{i j} = w_{i} w_{j} (σ_{i} σ_{j} (1 - ρ_{i j}) + (σ_{i} - σ_{j})^{2} / 2)$ На исторических данных эта оценка имела погрешность порядка 0,05%г, но неизвестно, каким этот бонус от ребалансировки будет в будущем. В табличке ниже приведены максимально возможные (при соотношении активов 50/50) его значения в %г, рассчитанные по величинам корреляции и волатильности активов за 2007–2020г.

		VTI	VO	VB	SHY	AGG	TLT	TIP	VEU	VWO	VNQ	GLD
Total Stock Market	VTI	0,00	0,02	0,05	0,33	0,33	0,75	0,31	0,09	0,24	0,32	0,68
Mid-Cap	VO	0,02	0,00	0,03	0,43	0,42	0,86	0,39	0,10	0,23	0,30	0,75
Small-Cap	VB	0,05	0,03	0,00	0,53	0,52	1,01	0,50	0,15	0,27	0,28	0,87
1-3 Year Treasury	SHY	0,33	0,43	0,53	0,00	0,01	0,22	0,04	0,47	0,66	0,73	0,38
US Aggregate Bond	AGG	0,33	0,42	0,52	0,01	0,00	0,16	0,02	0,45	0,63	0,66	0,34
20+ Year Treasury	TLT	0,75	0,86	1,01	0,22	0,16	0,00	0,18	0,88	1,10	0,98	0,49
TIPS	TIP	0,31	0,39	0,50	0,04	0,02	0,18	0,00	0,41	0,57	0,64	0,30
All-World ex-US	VEU	0,09	0,10	0,15	0,47	0,45	0,88	0,41	0,00	0,08	0,38	0,69
Emerging Markets	VWO	0,24	0,23	0,27	0,66	0,63	1,10	0,57	0,08	0,00	0,52	0,76
Real Estate	VNQ	0,32	0,30	0,28	0,73	0,66	0,98	0,64	0,38	0,52	0,00	1,01
Gold	GLD	0,68	0,75	0,87	0,38	0,34	0,49	0,30	0,69	0,76	1,01	0,00

Практически нет такой комбинации активов, при которой бонус от ребалансировки перекрыл бы снижение ожидаемой доходности, разве что золото-облигации (остаются, правда, эпизоды с реализацией хвостовых рисков, но они в конкретной истории конкретного портфеля могут выбить его доходность как в плюс, так так и в минус). Поэтому...

Риск портфеля, понимаемый как отставание от целевой доходности, зависит от доходности его составляющих, а не исторической корреляции между ними. Добавление в портфель «защитных» низкодоходных инструментов всегда будет снижать его ожидаемую доходность.

Категории:Математика Пассивное инвестирование Портфель

Читайте далее

↑ Заметки о финансах/Инвестиционный портфель ↑