Болезненность и полезность

Полезность

Прошлая статья i Экспозиция и риск/доходность Небольшая зарисовка о неочевидных особенностях масштабирования портфелей оставила нас с вопросом об оптимальной экспозиции на рисковый актив. Оптимизировать по соотношению риск/доходность мы не можем: оптимальной оказывается нулевая экспозиция. Оптимизировать по доходности — очевидно — тоже: нельзя игнорировать риск, растущий быстрее ожидаемой доходности.

Поэтому обратимся к концепции полезности. В экономической теории функция полезности (utility) $u(x)$ отображает некоторый объективный параметр $x$ в субъективную полезность $u$. Самой старой и наиболее интуитивной является логарифмическая функция полезности $\log (x)$. Её использование (в контексте личных финансов) предполагает, что полезность каждого последующего рубля падает пропорционально размеру накопленного капитала.

Соответственно, когда наш капитал уменьшается, мы теряем больше полезности, чем когда он растёт на ту же сумму, а полная потеря капитала будет для нас означать бесконечную боль: $\log (0)=-\infty$.

Логарифмическая полезность удобна и логична тем, что полезность относительного прироста капитала равна разности полезностей конечного и начального: $\log (A^{\prime }/A)=\log (A^{\prime })-\log (A)$. Используя такую форму полезности, мы также неявно учитываем и асимметрию i Контринтуитивная доходность/Отрицательная асимметрия Отрицательная асимметрия — это когда вы в большинстве случаев получаете высокую доходность, но иногда случаются события/периоды, которые разрушают ваш капитал. Положительная асимметрия — в большинстве случаев вы получаете доходность ниже среднего (или вообще теряете деньги), но иногда — резко наращиваете капитал. в распределении результатов инвестирования. В этом преимущество абстрактной, на первый взгляд, полезности перед средней и медианной/характерной доходностями: т.к. распределение исходов инвестирования асимметрично и имеет толстые хвосты, средняя доходность искажается редкими мощными выбросами, а медианная/характерная — просто их отбрасывает. Использование средней исторической полезности позволяет, на мой взгляд, более корректно отразить влияние толстых асимметричных хвостов на инвестора («редкие сверхдоходности — не очень-то и хотелось, а вот даже небольшой вероятности почти полной потери капитала — лучше бы избежать»).

Посмотрим, какую итоговую полезность создают различные активы на горизонте 15 лет (показано среднее по скользящим интервалам с 1950г).

Интересно, что зависимость полезности облигаций и портфеля от экспозиции примерно следует характерной доходности из предыдущей статьи i Экспозиция и риск/доходность Небольшая зарисовка о неочевидных особенностях масштабирования портфелей (напоминаю, что плечо пока — бесплатное), а вот полезность золота начала загибаться вслед за акциями.

Болезненность

Но неопределённость результата — это ещё не всё. Добавим в модель болезненность от владения портфелем. Для этого мы вводили i Измеряя рыночный риск Проанализировал целых 10 возможных мер рыночного риска, и собрал их в 3 основных его аспекта, которые должны учитываться при определении терпимости к риску и построении оптимального портфеля. такие метрики как волатильность капитала, максимальная и среднеквадратичная просадки. Они измеряются в процентах от капитала и их нужно как-то перевести в единицы полезности. Самым очевидным решением будет применить тот же логарифм. Если просадка или волатильность капитала равны 100%, то это эквивалентно полной потере капитала = бесконечная боль = $\log (1-D)$, где $D$ — величина риска в процентах от капитала. Т.к. потери не окончательные (кроме полной), прибавим к итоговой полезности половину этого логарифма (бесконечная боль при этом останется бесконечной). Можно прибавлять меньше половины, если терпимость к риску повышенная, или больше — если пониженная (прибавлять — потому что значение этого логарифма отрицательно). Но половина выглядит хорошим начальным приближением. Для более точного моделирования чувствительности к разным аспектам риска можно использовать и более изощрённые «функции болезненности», но мы пока остановимся на максимально простой.

Так мы учли в своей модели волатильность активов и увидели, что экспозиция на волатильные активы выше (и ниже) 100% потеряла смысл. Хотя низковолатильные продолжают хорошо масштабироваться. Добавим, наконец, стоимость плеча. В Interactive Brokers можно кредитоваться под ставку ФРС + 1,5%г. Будем считать, что, долгосрочно, реальная ставка ФРС примерно равна нулю, как и реальная доходность безрисковых инструментов.

Получаем следующую замечательную (и довольно интуитивную, по-моему) картину, что оптимальная экспозиция на «чистые» активы = 1, а портфельный эффект i (Не)Математика диверсификации-3: современная теория портфеля Теория портфеля Гарри Марковица, и почему это лишь математическая иллюстрация. Принципы построения портфеля гораздо проще. между активами может сделать небольшое плечо полезным.

Ещё раз повторюсь, что исторически-оптимальные портфели и экспозиции не являются оптимальными в будущем, и вообще зависят от ваших личных обстоятельств.

Ссылки по теме