Измеряя рыночный риск

Проанализировал целых 10 возможных мер рыночного риска, и собрал их в 3 основных его аспекта, которые должны учитываться при определении терпимости к риску и построении оптимального портфеля.

Опубликовано: 2021-08-10

Находится в:

Заметки о финансах/Инвестиционный портфель

Используется в:

Аспекты риска/Рыночных инструментов и портфелей/Волатильность Аспекты риска/Рыночных инструментов и портфелей/Волатильность
Болезненность и полезность Болезненность и полезность Определяем оптимальную экспозицию на актив/портфель с помощью функции полезности (и «функции болезненности»). Это нам впоследствии поможет и при составлении оптимальных портфелей.
Болезненность и полезность/Болезненность Болезненность и полезность/Болезненность
Портфельный эффект и гримасы корреляции Портфельный эффект и гримасы корреляции Почему не стоит полагаться на корреляции при выборе активов в портфель. И на доходности тоже.
Экспозиция и риск/доходность Экспозиция и риск/доходность Небольшая зарисовка о неочевидных особенностях масштабирования портфелей

Почему-то довольно часто встречаюсь с мнением, что СКО доходностей — единственно возможная мера рыночного риска (он же волатильность). Это не так. Эта мера очень удобна для расчётов, однако отнюдь не проста для понимания и, конечно же, совсем не единственная. В этой заметке я расскажу о самых известных традиционных мерах волатильности, а также предложу несколько собственных. Рассмотрю также вопрос об эквивалентности разных мер риска.

Классическая волатильность — СКО доходностей

В подавляющем большинстве случаев финансовая наука (Не)Математика диверсификации-3: современная теория портфеля Теория портфеля Гарри Марковица, и почему это лишь математическая иллюстрация. Принципы построения портфеля гораздо проще. определяет рыночный риск финансового инструмента как его волатильность, а волатильность — как среднее квадратическое отклонение (СКО) доходностей (логарифмических) инструмента от их среднего арифметического на всех периодах заданной длины. То есть, если $V_{i}$ — размер вложенного капитала (индекс полной доходности) на начало $i$ -го периода, $T$ — количество периодов в интервале оценки волатильности ( $σ_{T}$ ), то

$r_{i} = ln (\frac{V _{i + T}}{V _{i}}), \overset{r}{ˉ} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N r_{i}, σ_{T} = i = 1 \sum N \frac{( r _{i} - r ˉ ) ^{2}}{N - 1} .$

Доходности инструментов, выраженные как $R = V_{i + T} / V_{i}$ не могут быть отрицательными и асимметричны относительно нулевой доходности (при нулевой доходности $R = 1$ , рост в 10 раз — $R = 10$ , падение в 10 раз — $R = 0.1$ ). Логарифмирование используется, чтобы привести их распределение к симметричной форме на интервале $- \infty \dots + \infty$ .

Среднее арифметическое логарифмических доходностей на непересекающихся периодах эквивалентно среднегеометрической доходности:

$\overset{r}{ˉ} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N ln \frac{V _{i + 1}}{V _{i}} = \frac{1}{N} ln (\frac{V _{2}}{V _{1}} \times \frac{V _{3}}{V _{2}} \times \dots \times \frac{V _{N}}{V _{N - 1}}) = \frac{1}{N} ln \frac{V _{N}}{V _{1}} = ln N \frac{V _{N}}{V _{1}}$

Поэтому критикующие портфельную теорию за использование ср.-арифм. доходностей — просто забывают, что доходности надо сперва логарифимировать. Впрочем, пользователи портфельной теории тоже часто про это забывают.

«Естественные» доходности в %г получаются как $r^{'} = exp (r) - 1$ , аналогично преобразуется $σ_{T}$ и её аналоги далее по тексту. Все графики построены в естественных доходностях, и на этом нюансе я более не останавливаюсь.

Такая метрика очень легко рассчитывается и сразу же даёт портфельную теорию ( $w_{m}$ — веса активов в портфеле, $r_{m}$ — их доходности, $ρ_{m, n}$ — корреляция доходностей $m$ -го и $n$ -го активов):

$r_{p} = k \sum w_{m} r_{m} σ_{p}^{2} = i \sum w_{m}^{2} σ_{m}^{2} + m \sum n \neq = m \sum w_{m} w_{n} σ_{m} σ_{n} ρ_{m, n} < m \sum w_{m} σ_{m} (п р и ρ_{m, n} < 1),$ в которой можно эффективно аналитически рассчитывать оптимальные веса активов в портфеле, минимизируя риск при заданной доходности или максимизируя доходность при заданном риске.

В принципе, везде где далее фигурирует оценка вида $\sum_{i = 1}^{N} z^{2} / N$ можно пользоваться более общей $f^{- 1} (\sum_{i = 1}^{N} f (z) / N)$ , чтобы точнее учесть индивидуальную терпимость к риску инвестора. Впрочем, для этого можно применять и какое-то преобразование к итоговому значению риска.

Проблема в том, что эта метрика предполагает независимость доходностей на интервале $T$ т.е. отсутствие автокорреляций — трендов и возврата к среднему, а также симметричность распределения доходностей. Таким образом, с точки зрения этой метрики, все показанные на графике ниже инструменты — идентичны (средние арифметические годовых доходностей равны 5%г, а СКО месячных доходностей в годовом выражении — 10%), хотя порядок их предпочтительности очевиден даже невооружённому глазу.

Здесь N — «нейтральное» случайное блуждание (именно такое предположение о динамике инструмента заложено в оценку его риска как СКО доходностей), A+ — положительная автокорреляция доходностей (сильная трендовость), A− — отрицательная (сильный возврат к среднему), S+ — смещение распределения доходностей в положительную сторону, S− — в отрицательную сторону.

Таким образом, в лучшем случае мы можем воспринимать СКО как меру неопределённости результатов инвестирования на заданном горизонте, и игнорируя происходящее внутри этого горизонта, что возможно на стадии накопления капитала при крепких нервах. А традиционно используемая СКО месячных доходностей в годовом выражении, на более длинных горизонтах совершенно бессмысленна из-за игнорирования автокорреляций.

Также проблему представляет зависимость от длины интервала, на котором измеряется доходность. Как правило, СКО приводят к %г, пользуясь предположением о независимости доходностей: $σ_{T} = σ_{1} T$ ( $σ_{1}$ — доходность на единичном интервале, T — длина целевого интервала). Это может быть поучительно: рост приведённого СКО с увеличением интервала говорит о трендовости, снижение — о возврате к среднему:

Однако сопоставить полученные так волатильности с известными ожидаемыми доходностями инструментов сложно. Поэтому я буду пользоваться СКО среднегеометрических доходностей:

Также, использование волатильности, выраженной в %г, создаёт так называемый миф о временно́й диверсификации: хотя неопределённость полученной доходности со временем падает, неопределённость размера итогового капитала продолжает расти (неопределённость доходности падает медленнее, чем растёт срок инвестирования).

Теперь посмотрим на коэффициент асимметрии (скос) распределения доходностей на разных интервалах:

Положительная асимметрия говорит о тяжёлом правом хвосте распределения: чаще всего вы будете получать доходности ниже среднеарифметической, а иногда — аномально высокие. Отрицательная асимметрия — наоборот: обычно вы получаете доходности выше средней, но иногда терпите жестокие просадки.

У асимметричных распределений одно и то же значение значение СКО доходностей (как и капитала) может соответствовать разному риску недополучения целевой доходности (downside risk), который только и является по-настоящему риском инвестора. К его рассмотрению перейдём. СКО доходностей же (и то только строго на инвестиционном горизонте) может служить лишь очень грубым приближением риска инвестора.

Риск отставания по Сортино

Чтобы учесть асимметричность распределения доходностей, цели инвестора, а также компенсировать недостаток исторических данных, Фрэнк Сортино предложил способ измерять рыночный риск как отставание полученной доходности от целевой, взвешенное по вероятности его реализации: $D = \int_{- \infty}^{r_{t}} (r - r_{t})^{2} f (r) d r,$ где $r_{t}$ — целевая доходность инвестора, $f (r)$ — распределение вероятностей получения доходности $r$ на заданном временно́м горизонте (модель Сортино всё равно зависит от выбранного горизонта инвестиций и, игнорируя автокорреляции, работает только строго на нём; т.е. активы «А+» и «A−» с первого графика она всё равно не различает на месячном горизонте).

То есть, имея некоторое историческое распределение доходностей на выбранном интервале (равном горизонту инвестирования), мы сперва должны построить для него функцию распределения, и взвесить все возможные отставания от целевой доходности по вероятностям их реализации. Графически это можно представить так:

Обратите внимание, как взвешенное отставание учитывает доходности, которые не реализовались, но были вполне возможны, учитывая зафиксированную волатильность. Квадратный корень из площади под этой кривой и даст величину риска отставания по Сортино в %г.

Проблема в том, что для каждого инструмента вид распределения нужно подбирать отдельно и не всегда это можно сделать качественно. Поэтому на практике этап подбора теоретического непрерывного распределения часто игнорируют (закрывая для себя возможность подсмотреть в «альтернативные вселенные»), и пользуются лишь дискретным распределением реализовавшихся доходностей:

$r_{i} = ln (\frac{V _{i + T}}{V _{i}}), σ_{T}^{-} = i = 1 \sum N \frac{( min ( r _{i} - r _{t} , 0 ) ) ^{2}}{N - 1} .$

На графике ниже мы вновь видим зависимость $σ_{T}^{-}$ от временного окна, на котором измеряется доходность, с теми же трендовостью и возвратом к среднему (при использовании приведённых значений, аналогично обычной волатильности), хотя и другим соотношением рискованности активов на разных горизонтах (особенно заметно поведение риска отставания у акций — в отличие от СКО доходностей, он растёт из-за роста скошенности распределения в отрицательную сторону):

При использовании среднегеометрических доходностей ( $r_{i} = ln t (T) V_{i + T} / V_{i}$ ) вновь получаем практически прямые линии на логарифмической шкале (пунктиром показано СКО ср.-геом. доходностей):

Вместо выражения этого риска в %г может оказаться нагляднее использовать процент недополученного капитала до целевой доходности, который будет равен $e^{σ_{T}^{-} \cdot T} - 1$ .

Максимальная просадка

Т.к. предыдущих способа оценки рисков игнорируют трендовость и возврат к среднему, предполагая независимость доходностей в последовательных периодах, совместно с ними обычно используется такая характеристика инструмента как максимальная просадка т.е. максимальное исторически зафиксированное падение (в %) вложенного в инструмент капитала. Графики просадок выглядят так:

Ключевой недостаток этой метрики в том, что зная максимальную просадку, инвестор не в состоянии понять, насколько она вероятна и сколько длится: один инструмент может падать на 80% каждые три года, другой — 1 раз за 100 лет, но максимальная просадка в обоих случаях будет одинаковой.

Среднеквадратичная просадка

В качестве замены максимальной просадке, я бы предложил среднеквадратичную: $D = \frac{1}{N} i = 1 \sum N (\frac{V _{i}}{V _{i}^{m a x}} - 1)^{2},$ где $V_{i}$ — размер вложенного капитала в момент $i$ , $V_{i}^{m a x}$ — максимальное его значение до или в момент $i$ . Она будет учитывать уже и глубину падений, и их частоту, и длительность.

	макс. просадка	ср.-кв.
SnP500	76%	31%
облигации	58%	19%
золото	83%	33%

Такая мера лучше отражает ощущения инвестора от владения инструментом и его риски при постепенном расходовании средств, но, измеренная на всей истории инструмента, менее пригодна для планирования портфеля с жёсткой целевой датой.

В любом случае, чем больше срок владения портфелем, тем бо́льшую просадку по нему вы пронаблюдаете. Ниже график среднего значения ср.-кв. просадки на всех периодах заданной длины.

Волатильность капитала (+ характерная доходность и качество роста)

Мне очень импонирует анализ динамики инструментов через её разложение на тренд и волатильность. Только волатильность в данном случае — это волатильность капитала, учитывающая автокорреляции. Наглядно это выглядит так:

Здесь показана динамика капитала, вложенного в SnP500 в логарифмическом масштабе. Линия равномерного роста — проходит точно посередине графика роста капитала, показывая долгосрочную характерную доходность — 4%г (график показан в реальном выражении). Эта доходность близка ко всем понятной среднегеометрической, но гораздо меньше зависит от выбора точек начала и конца рассматриваемого интервала. Т.е. меньше подвержена искажениям из-за волатильности.

Волатильность капитала получим как ср.-кв. отклонение размера капитала от предполагаемого при равномерном росте ( $V^{e s t}$ ). Для такой модели мы также можем рассчитать коэффициент детерминации, физический смысл которого в данном контексте можно определить как качество роста — какая доля динамики капитала объясняется его характерной доходностью.

Формально:

$V^{e s t} = V_{0} e^{r \cdot t},$

$V_{0}$ — начальный размер капитала после очистки от волатильности, и $r$ — характерная доходность инструмента, находятся методом наименьших квадратов, минимизируя относительное отклонение линии равномерного роста от фактической динамики капитала: $i \sum (lo g V_{i} - lo g V_{i}^{e s t})^{2} \to min$

Волатильность капитала: $C V = \frac{1}{N} i = 1 \sum N (\frac{V _{i}}{V _{i}^{e s t}} - 1)^{2}$

Качество роста: $G Q = 1 - \frac{\sum _{i} ( V _{i} - V _{i}^{e s t} ) ^{2}}{\sum _{i} ( V _{i} - V ) ^{2}}, \overline{V} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N V_{i}$

Посмотрим как ведёт себя волатильность капитала на разных горизонтах:

Отставание от требуемой доходности (лаг)

Совмещая подход Сортино, измеряющий отставание от требуемой инвестором доходности, со ср.-кв. просадкой, учитывающей автокорреляции инструментов, я бы предложил использовать ср.-кв. отставание размера капитала от предполагаемого при равномерном росте с заданной доходностью, или лаг. Т.е., вместо $V_{i}^{m a x}$ в формуле для ср.-кв. просадки используем $V_{i}^{e s t} = V_{0} e^{r_{t} t_{i}}$ , где $r_{t}$ — требуемая инвестором доходность. К сожалению, эта метрика — только для глубокого исторического анализа т.к. она работает только на скользящих окнах, и, соответственно, требует очень большого количества данных. Для единичного интервала смещение его начала даже на 1 день может показать совершенно другие результаты.

$D = \frac{1}{K \cdot N} p = 1 \sum K i = p \sum p + N (\frac{V _{i}}{V _{p} e ^{r_{t} (t_{i} - t_{p})}} - 1)^{2}$

Значения это метрики выглядят вот так (в качестве целевой доходности принята среднеисторическая доходность инструмента):

Довольно похоже на риск отставания по Сортино в процентах от капитала. Если подумать — вполне логично: лаг измеряет тот же риск, только не на конец периода инвестирования, а в каждый момент времени. Но измеряя риск отставания на скользящих окнах, мы отставание на каждый момент времени и получаем.

Эквивалентность мер риска

Самый главный вопрос относительно всего рассмотренного многообразия — а нужно ли нам оно? Может быть, все эти меры меряют примерно одно и то же, только в разных единицах, и нам достаточно старого доброго СКО доходностей?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, зачем нам нужно измерять рыночный риск. Помимо того, чтобы просто посмотреть на разные стороны рыночной волатильности, измерение риска необходимо для нахождения оптимальных портфелей, минимизирующих риск при заданной доходности, или максимизирующих доходность при заданном риске. Если две разные меры риска приводят к одинаковым портфелям, мы будем считать их эквивалентными.

Я не стану вдаваться в подробности правильного, на мой взгляд, планирования и оптимизации портфелей: это тема для целого цикла статей (и эта заметка — в нём первая). Пока ограничимся рассмотрением исторически-оптимальных портфелей, которые никоим образом не могут служить даже ориентиром при формировании собственного портфеля. Но для наших текущих целей примитивной исторической оптимизации достаточно.

Для каждой меры риска рассмотрим ряд портфелей из акций, облигаций и золота, варьируя доли каждого актива с шагом в 5%. Из этих портфелей выберем тот, у которого соотношение доходность/риск максимально. В качестве доходности (и целевой доходности, если таковая требуется мерой риска) я буду всегда брать характерную доходность портфеля на всей истории.

	акции	облиг	золото	дох-сть	риск
5 лет
СКО-Д	20%	50%	30%	2.9%г	5.9%г
СКО-Д-СГ	20%	50%	30%	2.9%г	2.6%г
СКО-ИК	20%	50%	30%	2.9%г	14.0%
ОЦ-Д	15%	55%	30%	2.9%г	4.0%г
ОЦ-Д-СГ	15%	55%	30%	2.9%г	1.8%г
ОЦ-ИК	15%	55%	30%	2.9%г	9.3%
П-МАКС	5%	75%	20%	2.9%г	25.4%
П-СК	10%	75%	15%	2.9%г	5.2%
ВОЛ-К	15%	70%	15%	2.9%г	4.1%
ЛАГ	20%	55%	25%	2.9%г	10.3%
15 лет
СКО-Д	25%	40%	35%	2.9%г	5.1%г
СКО-Д-СГ	25%	40%	35%	2.9%г	1.3%г
СКО-ИК	25%	40%	35%	2.9%г	21.9%
ОЦ-Д	25%	35%	40%	2.9%г	3.5%г
ОЦ-Д-СГ	25%	35%	40%	2.9%г	0.9%г
ОЦ-ИК	25%	35%	40%	2.9%г	14.5%
П-МАКС	5%	75%	20%	2.9%г	25.4%
П-СК	5%	75%	20%	2.9%г	6.2%
ВОЛ-К	15%	60%	25%	2.9%г	6.9%
ЛАГ	30%	35%	35%	2.9%г	14.8%
30 лет
СКО-Д	5%	40%	55%	2.8%г	2.8%г
СКО-Д-СГ	5%	40%	55%	2.8%г	0.5%г
СКО-ИК	5%	40%	55%	2.8%г	16.8%
ОЦ-Д	10%	40%	50%	2.9%г	2.0%г
ОЦ-Д-СГ	10%	40%	50%	2.9%г	0.4%г
ОЦ-ИК	10%	40%	50%	2.9%г	11.8%
П-МАКС	5%	75%	20%	2.9%г	25.4%
П-СК	5%	75%	20%	2.9%г	6.8%
ВОЛ-К	15%	55%	30%	2.9%г	8.7%
ЛАГ	20%	40%	40%	2.9%г	16.7%

Как и следовало ожидать, меры, связанные с «чистым» СКО (СКО доходностей, СКО ср.-геом. доходностей, СКО итогового капитала) — эквивалентны т.к., фактически, являются математическими преобразованиями одной и той же величины. Точно так же эквиваленты меры, связанные с отставанием от цели по Сортино (ОЦ), причём оптимизированные с их помощью портфели довольно близки к портфелям, оптимальным по СКО. Т.е. асимметрия распределения исторических доходностей всё-таки не очень значительна, раз «односторонний» риск близок к «симметричному». На горизонте в 5 лет чуть-чуть отличаются варианты меры, связанные с просадкой (П). И практически совсем независимы оказываются волатильность капитала и лаг.

Таким образом, у нас получилось целых 5 независимых мер риска. При этом, я бы отказался от использования не совсем корректного «симметричного» СКО в пользу «одностороннего» ОЦ, а также от очень тяжёлого в расчётах лага, который довольно близок по сути к тому же ОЦ. По уже описанной в соответствующем разделе причине, я предпочту ср.-кв. просадку максимальной.

То есть, «рабочих» аспектов рыночного риска у нас осталось 3, которые, как мне кажется, весьма логичны:

Отставание ср.-геом. доходности или итогового капитала от целевых значений в конце срока инвестирования. («Насколько нам неизвестен результат.»)
Глубина/частота просадок в процессе владения портфелем. («Насколько нам может быть больно в процессе.»)
Величина отклонения размера капитала от «депозита» с целевой доходностью (волатильность капитала) в процессе. («Насколько нам неизвестно наше текущее состояние.»)

У разных инвесторов чувствительность к каждому из этих аспектов разная, поэтому, чтобы сформировать действительно комфортный портфель, каждому из них нужно назначать свой весовой коэффициент, или даже применять свою функцию полезности. Благо, все эти аспекты могут быть измерены в процентах от капитала, что избавляет от проблем работы с несовместимыми единицами измерения. Если же из этих трёх аспектов выбирать один, то я бы остановился на третьем — волатильности капитала т.к. она в некоторой степени указывает и на характерный размер просадок (удвоенная волатильность капитала как раз таки указывает на характерную максимальную просадку, только относительно равномерного роста с характерной доходностью, а не нулевого), и на неопределённость итогового размера капитала.

Также любопытно отметить, что характерная доходность всех оптимальных портфелей на всех горизонтах оказалась одинаковой.

Категории:Финансовый рынок Математика Портфель Риск

Читайте далее

↑ Заметки о финансах/Инвестиционный портфель ↑