Бонус за ребалансировку: случай с биткойном (физмат-этюд)

Ранее i Криптовалюты Разбираем экономическую сущность криптовалют и их пригодность в качестве актива в диверсифицированном портфеле. Результаты, как можно догадаться, неутешительные. я заявлял, опираясь на современную портфельную теорию i (Не)Математика диверсификации-3: современная теория портфеля Теория портфеля Гарри Марковица, и почему это лишь математическая иллюстрация. Принципы построения портфеля гораздо проще. , что включение крипты в портфель бессмысленно из-за крайне высокой волатильности. Пришло время уточнить теорию и пересмотреть эти утверждения. Те, кто не интересуются выкладками, могут промотать статью до конца, чтобы увидеть итоговый график.

Итак, начнём с базы. В рамках портфельной теории, соотношение долей активов мы выбираем так, чтобы максимизировать ожидаемую доходность при заданном риске, или минимизировать риск при заданной ожидаемой доходности. При этом ожидаемая доходность и риск определяются следующим образом: $$\begin{gathered} r_p=\sum _i{w}_i{\bar{r}}_i+\bar{b} \\ {\varsigma }_p^2=\sum _i{w}_i^2{\varsigma }_i^2+\sum _i\sum _{j\ne i}{w}_i{w}_j{\varsigma }_i{\varsigma }_j{\rho }_{i,j}, \end{gathered}$$

где $w_i$ — вес $i$-го актива в портфеле, $r_i$ — логарифм его ожидаемой доходности на горизонте инвестирования (везде далее я буду просто говорить о доходности, подразумевая доходности логарифмические), ${\varsigma }_i$ — СКО этой доходности, ${\rho }_{i,j}$ — коэффициент корреляции между доходностями. Индекс $p$ соответствует величинам для портфеля, а $\bar{b}$ — величина ожидаемого бонуса за ребалансировку.

Для простоты, рассматривать будем случай портфеля из двух активов. А бонус за ребалансировку в этом случае мы рассчитали так i Бонус за ребалансировку и потери на волатильности (физмат-этюд) Получаем выражение для величины бонуса за ребалансировку, и заодно понимаем, что бонуса как такового не существует, просто нелинейные зависимости — нелинейны. Аналогичное быстро проделываем с «потерями на волатильности», которые и вовсе порождены использованием неправильного представления доходностей. : $${\bar{b}}_{A,B}=\frac{w_A{w}_B}{2}({\bar{r}}_A^2+{\sigma }_A^2-2({\bar{r}}_A{\bar{r}}_B+{\sigma }_A{\sigma }_B{\rho }_{A,B})+{\bar{r}}_B^2+{\sigma }_B^2),$$ где $\bar{r}$ — это ожидаемая доходность на интервале ребалансировки.

Но одним из условий там было «если мы не занимаемся криптой». Чтобы корректно учесть дополнительную доходность от ребалансировки с высоковолатильными активами, нужна более точная модель. К выводу коей и приступим.

Как вы помните, бонус за ребалансировку возникает из того, что мы не ребалансируемся непрерывно, а даём долям активов некоторое время дрейфовать, собирая между ребалансировками повышенную доходность более рискованных активов, не сильно жертвуя риском портфеля в целом. Т.е. на единичном интервале мы собираем следующий бонус (разность между доходностью портфеля и взвешенной доходностью его активов): $$b=\ln (w{e}^{r_A}+(1-w)e^{r_B})-w{r}_A-(1-w)r_B.$$

Обозначив разность доходностей $\Delta =r_A-r_B$, и вынеся $e^{r_B}$ из-под логарифма, получим более краткую запись этого выражения: $$b(\Delta )=\ln (w{e}^{\Delta }+1-w)-w\Delta .$$

Разложим его в ряд Тейлора вокруг $\Delta =0$: $$\begin{array}{rl}b(\Delta )& =\sum _{n\ge 2}{a}_n(w){\Delta }^n,\\ a_1& =0,\\ a_2& =\frac{1}{2}w(1-w),\\ a_3& =\frac{1}{6}w(1-w)(1-2w),\\ a_4& =\frac{1}{24}w(1-w)(6w^2-6w+1),\end{array}$$ первых четырёх членов нам будет вполне достаточно.

На последовательности интервалов ребалансировки ожидаемый бонус будет равен $$\bar{b}=\mathbb{E}[b(\Delta )]=\sum _{n\ge 2}{a}_n(w)\mathbb{E}[{\Delta }^n].\text{\hspace{1em}(1)}$$

Теперь надо вычислить $\mathbb{E}[{\Delta }^n]$. Распишем их через кумулянты, так будет проще разобраться с перекрёстными зависимостями (а, точнее, их выкинуть): $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[\Delta ]& ={\kappa }_1,\\ \mathbb{E}[{\Delta }^2]& ={\kappa }_2+{\kappa }_1^2,\\ \mathbb{E}[{\Delta }^3]& ={\kappa }_3+3{\kappa }_1{\kappa }_2+{\kappa }_1^3,\\ \mathbb{E}[{\Delta }^4]& ={\kappa }_4+4{\kappa }_1{\kappa }_3+3{\kappa }_2^2+6{\kappa }_1^2{\kappa }_2+{\kappa }_1^4.\end{array}$$

Здесь $$\begin{array}{rl}{\kappa }_1(\Delta )& =\mathbb{E}[r_A]-\mathbb{E}[r_B],\\ {\kappa }_2(\Delta )& ={\sigma }_A^2-2\rho {\sigma }_A{\sigma }_B+{\sigma }_B^2,\\ {\kappa }_3(\Delta )& =\kappa (r_A,r_A,r_A)-3\kappa (r_A,r_A,r_B)+3\kappa (r_A,r_B,r_B)-\kappa (r_B,r_B,r_B),\\ {\kappa }_4(\Delta )& =\kappa (r_A,r_A,r_A,r_A)-4\kappa (r_A,r_A,r_A,r_B)+6\kappa (r_A,r_A,r_B,r_B)-4\kappa (r_A,r_B,r_B,r_B)+\kappa (r_B,r_B,r_B,r_B).\end{array}$$

Считая хвосты распределений независимыми (т.е. зависимость между доходностями целиком объясняется корреляцией, и сильное движение одного актива не увеличивает вероятности движения другого, сверх предполагаемого корреляцией), смешанные кумулянты мы можем обнулить: $$\kappa (r_A,r_A,r_B)=\kappa (r_A,r_B,r_B)=\kappa (r_A,r_A,r_A,r_B)=\kappa (r_A,r_A,r_B,r_B)=\kappa (r_A,r_B,r_B,r_B)=0,$$ и тогда получим ($\gamma$ — коэффициент асимметрии распределения доходностей, $K$ — коэффициент эксцесса) $$\begin{array}{rl}{\kappa }_1(\Delta )& =\mathbb{E}[r_A]-\mathbb{E}[r_B]={\bar{r}}_A-{\bar{r}}_B,\\ {\kappa }_2(\Delta )& ={\sigma }_A^2-2\rho {\sigma }_A{\sigma }_B+{\sigma }_B^2,\\ {\kappa }_3(\Delta )& ={\kappa }_3(r_A)-{\kappa }_3(r_B)={\gamma }_A{\sigma }_A^3-{\gamma }_B{\sigma }_B^3,\\ {\kappa }_4(\Delta )& ={\kappa }_4(r_A)+{\kappa }_4(r_B)=K_A{\sigma }_A^4+K_B{\sigma }_B^4.\end{array}$$

Предположение о независимости хвостов, конечно, делает наши результаты более оптимистическими, чем должно получаться в реальности, хотя в нашем случае (биткойн против традиционных активов после 2020г) пока недостаточно данных, чтобы об этой зависимости можно было как-то количественно судить.

Теперь подставим всё в (1) и сгруппируем слагаемые: $$\bar{b}=\underset{\text{старая формула}}{\underbrace{a_2({\kappa }_1^2+{\kappa }_2)}}+\underset{\text{поправки 3-го и 4-го порядков}}{\underbrace{a_3({\kappa }_1^3+3{\kappa }_1{\kappa }_2)+a_4({\kappa }_1^4+6{\kappa }_1^2{\kappa }_2+3{\kappa }_2^2)}}+\underset{\text{поправки на не-нормальность}}{\underbrace{(a_3+4a_4{\kappa }_1){\kappa }_3+a_4{\kappa }_4}};$$ первая группа в точности восстанавливает выражение для бонуса, выведенное ранее; вторая — это поправки, возникающие из членов ряда Тейлора 3-й и 4-й степени; третья — поправки на не-нормальность распределения доходностей (асимметрия и эксцесс).